第17章無理數和根號數

埃斯皮諾薩在紙上寫下π，又寫了一個m的n次方根。然後對着兩人說：我們都知道它們都是無理數，那麼π是根號數嗎？作為數學中的兩大概念，它們可以統一嗎？

艾麗西亞說：這個問題有點大。首先我說我的結論，它是根號數。我們都知道對於數學家總是把時間花在方程和函數以及幾何里，對於根號數缺乏足夠的研究。現在我們連二次根號中最簡單的√2都不了解，更別說高次根號了。雖然我對根號數的了解只有知道根號數很複雜這這一點外，就沒有別的了。不過，我的直覺告訴我π一定是高次根號數。無理數的本質是進制，只有徹底研究進制的規律才能真正觸及它的本質。

我以前算過0.33的循環換成九進制是0.33，說明它是因為進制導致的。受此啟發，無理數應該也是進制導致的。只不過現在沒有辦法把π換成九進制，所以沒有證據。如果π可以變成根號數或許會簡單一點。

我們知道圓的面積是πr2，而π是無理數。那麼，我們是否可以換種方式計算面積呢？如果引入根號，情況或許就會不同。圓的面積之所以難以計算是因為連續性，還有就是極點。要想想清楚這個問題，就必須回到最初的概念上。正方形的面積是邊長乘以邊長。怎麼理解呢？就是把一條邊看成是直線，而正方形的面積就相當於邊長長度條直線。可是，這條直線是數學中的直線嗎？如果它是，就沒有寬度。那麼，就算有邊長長度條直線，那麼這些直線的寬度依然是零啊？然而，正方形的面積的確就是如此啊？那麼，這條直線就不是數學中的直線。問題是正方形不就屬於數學嗎，為什麼如此呢？我們就當作它是成立的。那麼，圓的面積是不是可以按照相同的方法來求解呢？

如果按照正方形的面積求解的話，圓的面積就是0×2r＝0。很明顯，這是錯誤的。

我們再來看正方形的面積。如果假設它可以拆分成很多個長方形，然後再變成無數條直線。把這些直線從兩個方面看成是整體，於是正方形的面積就是如此。但是，我轉念一想，這會不會是人的想當然。人類到底是如何知道它的面積公式的？

艾麗西亞在沉思，而小尼卻說道：這是數學的基礎。就算你想很久，恐怕也沒有正確的答案。其實，你猜的不錯，就是想當然耳。不過也有一定根據，就是連續性和對稱。你也許會說圓也是對稱的，為什麼圓的面積就不能計算出來？對此，我也無法解答。

我說一句題外話。根號數或者無理數完全是一個獨立的數系中的數，也就是說無理數和有理數是完全分開的。

埃斯皮諾薩，今天就到這裏吧！這個話題實在太大了，我感覺有些受不了。

埃斯皮諾薩看了兩人，覺得的確有些難。所以，也就沒有再說什麼。