第137章集合二

集合是抽象代數的基礎，像環、群都是以它為基礎。對於我們，最熟悉的莫過於交集、並集。然而，學習過抽象代數后卻發現補集分為相對補集和絕對補集。我們上學時學習的是絕對補集，而不是相對補集。還有開集的概念。我知道區間有開閉之分，但是集合為什麼也有呢？我們知道集合表示方法有列舉法和區間法。由於區間有開閉，所以對應的集合就有開閉。

有時，還真的可以望文生義。比如，商集。你還別說，真的就和商有關。注意，不是熱力學中的熵。利用選擇公理，在集合族的商集裏選出一個元素作為代表。由這些代表組成的元素就是代表集。那麼，什麼是選擇公理呢？就是在集合族裏的集合分別選取一個元素，作為選擇函數的變量。

在集合中，陪集是有些特別的。有時，我就想不明白為什麼要用陪這個字呢？當我想到左陪集和右陪集，就覺得它們應該是對稱的。不過，有時它們又是等價的。左陪集的符號是gH，而右陪集的符號是Hg。你看，這不就是在符號上對稱嗎？由於這裏的H和g都是同一個，那麼它們就應該是對稱的。

指標是一個陌生的詞語，就像在天邊一樣。而指標集就是我不能理解的。百科裏說它在實變函數裏是非常重要的，那麼實變函數指的是什麼呢？聽起來聽唬人的，但是其實並不複雜。就是自變量為實數的函數。這說明了概念從來不是孤立的。話說回來，指標集就是在一個集合里選取一個元素，由單元素集合組成的集合族。

剩餘類雖然沒有一個集字，但是它也是一種集合。而且環和模都有剩餘類。

我們聽說次序和秩序，卻沒有聽過半序。那麼，半序是什麼呢？為了理解半序，我們需要先來理解序。如果一個集合恆有a>b，ab都是集合中的元素。那麼，>就是集合的序。說到底，就是符號。我們知道在實數里a>b，b>c，必然可以推出a>c。然而，在集合里，並不是總是如此。所以，這是成為半序的一個條件。同樣地，還有a≥b，b≥a，那麼a＝b。說實話，我有點不理解。畢竟，在實數里這就是自然而然。當然，數學是嚴謹的。但是，它還是讓人費解。也許今後，我可以明白它的具體含義。

象集。說到它，你是不是第一時間就想到了象棋。雖然象棋里的確有數學原理，但是這不是集合學家要研究的。我認為象集就是p維向量對應的映射的原象，那麼p維向量是什麼？在代數里，我們不是更喜歡用n嗎？其實，這是百科的一個錯誤。p是表示一種域，不是維度的數量。準確來說，應該是在域p中的n維向量。有兩個概念是需要記住的，它們是有效點和弱有效點。類比是一種方法，而我認為它們可以類比約束集中的有效解和弱有效解。如此看來，多學習一點是沒有壞處的。