第136章雙心4邊形二

以前，我覺得雙心四邊形一定是對角互補的。為什麼呢？因為我覺得四邊形有內接圓，那麼它的對角就是互補的。然而，我就用尋找角平分線的交點來作圖時發現根本不行。當時我沒有懷疑尋找角平分線交點的這個方法，但是後來通過我的嘗試卻開始懷疑它。沒錯，我們的確是通過角平分線交點來找到三角形的內接圓的。但是，在四邊形上並不適應。原因就是四邊形是兩個三角形拼成的，但是實質上是四個三角形。關鍵是這四個三角形的最大角的角平分線一定交於一點。並不是這樣的。你可能會說，有內接圓的四邊形就可以。然而，真是這樣。於是，我先畫了一個圓。然後再在圓外接一個四邊形，結果發現角平分線並不是交於一點。還有，我偶然發現有時這個四邊形的對角互補。這時，我才明白過來。原來，對角互補才是順心四邊形的條件。因此，我就開始了畫雙心四邊形的旅程。其中關鍵就是兩個對角互補。然後，剩下的兩個對角自然互補。因此，最重要的就是畫出這兩個對角。標準的尺規作圖是只允許用沒有刻度的直尺和圓規，而我自然無法這樣。要想畫出這兩個對角，必須要使用量角尺。首先，在已知圓外選取一定角度a。畫出射線並平移，使得射線與圓相切即可。延長射線到很長為止。同理，畫出角度（180-a），平移使得射線與圓相切。找出兩個交點，這就是這個圓的外接四邊形。當然，這只是粗略的描述而已。真正的方法還是有些微小的差異的。具體如下，

在已知圓上取一點A，從這點出發作一條切線在B點停止。用量角尺量出a度。過C點作AB垂線CD。再過C點作CD的垂線CE，所以CE平行於AB。其中E點是與已知圓的交點。以E點為圓心和BC為半徑畫弧，交於BC於點F。然後，就是在角AFE的對應的已知圓的圓弧AE的另一邊取一點G。用量角尺畫出角度（180-a）。同上。然後，延長四條射線。交於HI兩點，那麼AEHI就是雙心四邊形。

經過測量，外接圓半徑是2.3，內接圓半徑是1.5。而圓心距離是0.5。我推測圓心距離是內接圓半徑的1/3。據此，我有理由認為這是可能的結論。其實，我覺得也就是內接圓如此費勁而已。所以，圓心距離才只是與內接圓半徑有關。雖然不知道正確與否，但是我覺得可信度很高。

當我第二次作圖時，就發現有了錯誤。在已知圓取一點A，過A點作圓的切線。在B點停止。取角a度，作出BC。要求三角形ABC要包含已知圓的一個半圓，圓心為o連接OA，以它為一條射線，O點為頂點畫角。使得這個角等於角B的補角。作出射線OD交圓於E。過E點作DE的垂線，交AB於F。在四邊形AODB中，角B和角AoD互補。所以，角BAO等於角ODB等於90度。因而，DE垂直於BD。又因為DE垂直於EF，所以，EF平行於BD。所以，角ABD等於AFE。延長BA和FE。三角形ABC對應的已知圓的圓弧的另一邊取一點G，使得角度等於（180-a）。過G點的切線交FA于于H，量出角H的度數b。可知圓心角AOG等於（180-b)。根據作圖目的，對角互補。由於角B不是角H互補，那麼角H就要和另一個角互補。而這個角就是角E。當然，現在角還沒有出現。然後，我們知道角E對應的圓心角度數就是b。以OE為射線，O點為頂點。作出度數等於b的角，角已知圓於I點。然後，作OI的垂線，交GH於J點，交EF於K點。然後，四邊形AFKJ就是所求的雙心四邊形。核桃長舒一口氣，總算把這座大山給拿下了。

三人也聽得入神，忘記了自己應該說的話。然後，就沒有然後了。