《卷六》

《卷六》作者：張蒼

○均輸（以御遠近勞費）今有均輸粟，甲縣一萬戶，行道八日；乙縣九千五百戶，行道十日；丙縣一萬二千三百五十戶，行道十三日；丁縣一萬二千二百戶，行道二十日，各到輸所。

凡四縣賦當輸二十五萬斛，用車一萬乘。欲以道里遠近、戶數多少衰出之，問粟、車各幾何？答曰：甲縣粟八萬三千一百斛，車三千三百二十四乘。乙縣粟六萬三千一百七十五斛，車二千五百二十七乘。丙縣粟六萬三千一百七十五斛，車二千五百二十七乘。丁縣粟四萬五百五十斛，車一千六百二十二乘。

術曰：令縣戶數各如其本行道日數而一，以為衰。

〔按：此均輸，猶均運也。令戶率出車，以行道日數為均，發粟為輸。據甲行道八日，因使八戶共出一車；乙行道十日，因使十戶共出一車。計其在道，則皆戶一日出一車，故可為均平之率也。

淳風等按：縣戶有多少之差，行道有遠近之異。欲其均等，故各令行道日數約戶為衰。行道多者少其戶，行道少者多其戶。故各令約戶為衰。以八日約除甲縣，得一百二十五，乙、丙各九十五，丁六十一。於今有術，副並為所有率。未並者各為所求率，以賦粟車數為所有數，而今有之，各得車數。一旬除乙，十三除丙，各得九十五；二旬除丁，得六十一也。〕甲衰一百二十五，乙、丙衰各九十五，丁衰六十一，副並為法。以賦粟車數乘未並者，各自為實。

〔衰，分科率。〕實如法得一車。

〔各置所當出車，以其行道日數乘之，如戶數而一，得率：戶用車二日四十七分日之三十一，故謂之均。求此戶以率，當各計車之衰分也。〕有分者，上下輩之。

〔輩，配也。車、牛、人之數不可分裂，推少就多，均賦之宜。今按：甲分既少，宜從於乙。滿法除之，有餘從丙。丁分又少，亦宜就丙。除之適盡。加乙、丙各一，上下輩益，以少從多也。〕以二十五斛乘車數，即粟數。

今有均輸卒：甲縣一千二百人，薄塞；乙縣一千五百五十人，行道一日；丙縣一千二百八十人，行道二日；丁縣九百九十人，行道三日；戊縣一千七百五十人，行道五日。凡五縣賦輸卒一月一千二百人。欲以遠近、人數多少衰出之，問縣各幾何？答曰：甲縣二百二十九人。乙縣二百八十六人。丙縣二百二十八人。

丁縣一百七十一人。戊縣二百八十六人。

術曰：令縣卒各如其居所及行道日數而一，以為衰。

〔按：此亦以日數為均，發卒為輸。甲無行道日，但以居所三十日為率。言欲為均平之率者，當使甲三十人而出一人，乙三十一人而出一人。出一人者，計役則皆一人一日，是以可為均平之率。〕甲衰四，乙衰五，丙衰四，丁衰三，戊衰五，副並為法。以人數乘未並者各自為實。實如法而一。

〔為衰，於今有術，副並為所有率，未並者各為所求率，以賦卒人數為所有數。此術以別，考則意同，以廣異聞，故存之也。各置所當出人數，以其居所及行道日數乘之，如縣人數而一。得率：人役五日七分日之五。〕有分者，上下輩之。

〔輩，配也。今按：丁分最少，宜就戊除。不從乙者，丁近戊故也。滿法除之，有餘從乙。丙分又少，亦就乙除，有餘從甲。除之適盡。從甲、丙二分，其數正等，二者於乙遠近皆同，不以甲從乙者，方以下從上也。〕今有均賦粟：甲縣二萬五百二十戶，粟一斛二十錢，自輸其縣；乙縣一萬二千三百一十二戶，粟一斛一十錢，至輸所二百里；丙縣七千一百八十二戶，粟一斛一十二錢，至輸所一百五十里；丁縣一萬三千三百三十八戶，粟一斛一十七錢，至輸所二百五十里；戊縣五千一百三十戶，粟一斛一十三錢，至輸所一百五十里。

凡五縣賦輸粟一萬斛。一車載二十五斛，與僦一里一錢。欲以縣戶賦粟，令費勞等，問縣各粟幾何？答曰：甲縣三千五百七十一斛二千八百七十三分斛之五百一十七。乙縣二千三百八十斛二千八百七十三分斛之二千二百六十。丙縣一千三百八十八斛二千八百七十三分斛之二千二百七十六。丁縣一千七百一十九斛二千八百七十三分斛之一千三百一十三。戊縣九百三十九斛二千八百七十三分斛之二千二百五十三。

術曰：以一里僦價乘至輸所里，〔此以出錢為均也。問者曰：“一車載二十五斛，與僦一里一錢。”一錢，即一里僦價也。以乘里數者，欲知僦一車到輸所所用錢也。甲自輸其縣，則無取僦價也。〕以一車二十五斛除之，〔欲知僦一斛所用錢。〕加一斛粟價，則致一斛之費。

〔加一斛之價於一斛僦直，即凡輸粟取僦錢也：甲一斛之費二十，乙、丙各十八，丁二十七，戊十九也。〕各以約其戶數，為衰。

〔言使甲二十戶共出一斛，乙、丙十八戶共出一斛。計其所費，則皆戶一錢，故可為均賦之率也。計經賦之率，既有戶算之率，亦有遠近、貴賤之率。此二率者，各自相與通。通則甲二十，乙十二，丙七，丁十三，戊五。一斛之費謂之錢率。錢率約戶率者，則錢為母，戶為子。子不齊，令母互乘為齊，則衰也。若其不然。以一斛之費約戶數，取衰。並有分，當通分內子，約之，於算甚繁。此一章皆相與通功共率，略相依似。以上二率、下一率亦可放此，從其簡易而已。又以分言之，使甲一戶出二十分斛之一，乙一戶出十八分斛之一，各以戶數乘之，亦可得一縣凡所當輸，俱為衰也。乘之者，乘其子，母報除之。以此觀之，則以一斛之費約戶數者，其意不異矣。然則可置一斛之費而反衰之。約戶，以乘戶率為衰也。合分注曰：“母除為率，率乘子為齊。”反衰注曰：“先同其母，各以分母約，其子為反衰。”以施其率，為算既約，且不妨處下也。〕甲衰一千二十六，乙衰六百八十四，丙衰三百九十九，丁衰四百九十四，戊衰二百七十，副並為法。所賦粟乘未並者，各自為實。實如法得一。

〔各置所當出粟，以其一斛之費乘之，如戶數而一，得率：戶出三錢二千八百七十三分錢之一千三百八十一。按：此以出錢為均。問者曰：“一車載二十五斛，與僦一里一錢。”一錢即一里僦價也。以乘里數者，欲知僦一車到輸所用錢。

甲自輸其縣，則無取僦之價。以一車二十五斛除之者，欲知僦一斛所用錢。加一斛之價於一斛僦直，即凡輸粟取僦錢：甲一斛之費二十，乙、丙各十八，丁二十七，戊一十九。各以約其戶，為衰：甲衰一千二十六，乙衰六百八十四，丙衰三百九十九，丁衰四百九十四，戊衰二百七十。言使甲二十戶共出一斛，乙、丙十八戶共出一斛。計其所費，則皆戶一錢，故可為均賦之率也。於今有術，副並為所有率，未並者各為所求率，賦粟一萬斛為所有數。此今有、衰分之義也。〕今有均賦粟：甲縣四萬二千算，粟一斛二十，自輸其縣；乙縣三萬四千二百七十二算，粟一斛一十八，佣價一日一十錢，到輸所七十里；丙縣一萬九千三百二十八算，粟一斛一十六，佣價一日五錢，到輸所一百四十里；丁縣一萬七千七百算，粟一斛一十四，佣價一日五錢，到輸所一百七十五里；戊縣二萬三千四十算，粟一斛一十二，佣價一日五錢，到輸所二百一十里；己縣一萬九千一百三十六算，粟一斛一十，佣價一日五錢，到輸所二百八十里。凡六縣賦粟六萬斛，皆輸甲縣。六人共車，車載二十五斛，重車日行五十里，空車日行七十里，載輸之間各一日。粟有貴賤，佣各別價，以算出錢，令費勞等，問縣各粟幾何？答曰：甲縣一萬八千九百四十七斛一百三十三分斛之四十九。乙縣一萬八百二十七斛一百三十三分斛之九，丙縣七千二百一十八斛一百三十三分斛之六。丁縣六千七百六十六斛一百三十三分斛之一百二十二。戊縣九千二十二斛一百三十三分斛之七十四。己縣七千二百一十八斛一百三十三分斛之六。

術曰：以車程行空、重相乘為法，並空、重，以乘道里，各自為實，實如法得一日。

〔按：此術重往空還，一輸再行道也。置空行一里用七十分日之一，重行一里用五十分日之一。齊而同之，空、重行一里之路，往返用一百七十五分日之六。

完言之者，一百七十五里之路，往返用六日也。故並空、重者，齊其子也；空、重相乘者，同其母也。於今有術，至輸所里為所有數，六為所求率，一百七十五為所有率，而今有之，即各得輸所用日也。〕加載輸各一日，〔故得凡日也。〕而以六人乘之，〔欲知致一車用人也。〕又以佣價乘之，〔欲知致車人佣直幾錢。〕以二十五斛除之，〔欲知致一斛之佣直也。〕加一斛粟價，即致一斛之費。

〔加一斛之價於致一斛之佣直，即凡輸一斛粟取佣所用錢。〕各以約其算數為衰，〔今按：甲衰四十二，乙衰二十四，丙衰十六，丁衰十五，戊衰二十，己衰十六。於今有術，副並為所有率，未並者各自為所求率，所賦粟為所有數。此今有、衰分之義也。〕副並為法，以所賦粟乘未並者，各自為實。實如法得一斛。

〔各置所當出粟，以其一斛之費乘之，如算數而一，得率：算出九錢一百三十三分錢之三。又載輸之間各一日者，即二日也。〕今有粟七斗，三人分舂之，一人為糲米，一人為粺米，一人為米，令米數等。問取粟、為米各幾何？答曰：糲米取粟二斗一百二十一分斗之一十。

粺米取粟二斗一百二十一分斗之三十八。米取粟二斗一百二十一分斗之七十三。為米各一斗六百五分斗之一百五十一。

術曰：列置糲米三十，粺米二十七，米二十四，而反衰之。

〔此先約三率：糲為十，粺為九，為八。欲令米等者，其取粟：糲率十分之一，粺率九分之一，率八分之一。當齊其子，故曰反衰也。

淳風等按：米有精粗之異，粟有多少之差。據率，粺、少而糲多；用粟，則粺、多而糲少。米若依本率之分，粟當倍率，故今反衰之，使精取多而粗得少。〕副並為法。以七斗乘未並者，各自為取粟實。實如法得一斗。

〔於今有術，副並為所有率，未並者各為所求率，粟七斗為所有數，而今有之，故各得取粟也。〕若求米等者，以本率各乘定所取粟為實，以粟率五十為法，實如法得一斗。

〔若徑求為米等數者，置糲米三，用粟五；粺米二十七，用粟五十；米十二，用粟二十五。齊其粟，同其米，並齊為法。以七斗乘同為實。所得，即為米斗數。〕今有人當稟粟二斛。倉無粟，欲與米一、菽二，以當所稟粟。問各幾何？答曰；米五斗一升七分升之三。菽一斛二升七分升之六。

術曰：置米一、菽二，求為粟之數。並之，得三、九分之八，以為法。亦置米一、菽二，而以粟二斛乘之，各自為實。實如法得一斛。

〔淳風等按：置粟率五，乘米一，米率三除之，得一、三分之二，即是米一之粟也；粟率十，以乘菽二，菽率九除之，得二、九分之二，即是菽二之粟也。

並全，得三。齊子，並之，得二十四；同母，得二十七；約之，得九分之八。故云“並之，得三、九分之八”。米一、菽二當粟三、九分之八，此其粟率也。於今有術，米一、菽二皆為所求率，當粟三、九分之八，為所有率，粟二斛為所有數。凡言率者，當相與。通之，則為米九、菽十八，當粟三十五也。亦有置米一、菽二，求其為粟之率，以為列衰。副並為法，以粟乘列衰為實。所得即米一、菽二所求粟也。以米、菽本率而今有之，即合所問。〕今有取佣，負鹽二斛，行一百里，與錢四十。今負鹽一斛七斗三升少半升，行八十里。問與錢幾何？答曰：二十七錢一十五分錢之一十一。

術曰：置鹽二斛升數，以一百里乘之為法。

〔按：此術以負鹽二斛升數乘所行一百里，得二萬里。是為負鹽一升行二萬里，得錢四十。於今有術，為所有率。〕以四十錢乘今負鹽升數，又以八十里乘之，為實。實如法得一錢。

〔以今負鹽升數乘所行里，今負鹽一升凡所行里也。於今有術以所有數，四十錢為所求率也。衰分章“貸人千錢”與此同。〕今有負籠重一石，行百步，五十返。今負籠重一石一十七斤，行七十六步，問返幾何？答曰：五十七返二千六百三分返之一千六百二十九。

術曰：以今所行步數乘今籠重斤數，為法。

〔此法謂負一斤一返所行之積步也。〕故籠重斤數乘故步，又以返數乘之，為實。實如法得一返。

〔按：此法，負一斤一返所行之積步；此實者一斤一日所行之積步。故以一返之課除終日之程，即是返數也。

淳風等按：此術，所行步多者得返少，所行步少者得返多。然則故所行者今返率也。故令所得返乘今返之率，為實，而以故返之率為法，今有術也。按：此負籠又有輕重，於是為術者因令重者得返少，輕者得返多。故又因其率以乘法、實者，重今有之義也。然此意非也。按：此籠雖輕而行有限，籠過重則人力遺。

力有遺而術無窮，人行有限而籠輕重不等。使其有限之力隨彼無窮之變，故知此術率乖理也。若故所行有空行返數，設以問者，當因其所負以為返率，則今返之數可得而知也。假令空行一日六十里，負重一斛行四十里。減重一斗進二里半，負重二斗以下與空行同。今負籠重六斗，往返行一百步，問返幾何？答曰：一百五十返。術曰：置重行率，加十里，以里法通之，為實。以一返之步為法。實如法而一，即得也。〕今有程傳委輸，空車日行七十里，重車日行五十里。今載太倉粟輸上林，五日三返，問太倉去上林幾何？答曰：四十八里一十八分里之一十一術曰：並空、重里數，以三返乘之，為法。令空、重相乘，又以五日乘之，為實。實如法得一里。

〔此亦如上術。率：一百七十五里之路，往返用六日也。於今有術，則五日為所有數，一百七十五里為所求率，六日為所有率。以此所得，則三返之路。今求一返，當以三約之，因令乘法而併除也。為術亦可各置空、重行一里用日之率，以為列衰，副並為法。以五日乘列衰為實。實如法，所得即各空、重行日數也。

各以一日所行以乘，為凡日所行。三返約之，為上林去太倉之數。按：此術重往空還，一輸再還道。置空行一里用七十分日之一，重行一里用五十分日之一。齊而同之，空、重行一里之路，往返用一百七十五分日之六。完言之者，一百七十五里之路，往返用六日。故並空、重者，並齊也；空、重相乘者，同其母也。於今有術，五日為所有數，一百七十五為所求率，六為所有率。以此所得，則三返之路。今求一返者，當以三約之。故令乘法而併除，亦當約之也。〕今有絡絲一斤為練絲一十二兩，練絲一斤為青絲一斤一十二銖。今有青絲一斤，問本絡絲幾何？答曰：一斤四兩一十六銖三十三分銖之一十六。

術曰：以練絲十二兩乘青絲一斤一十二銖為法。以青絲一斤銖數乘練絲一斤兩數，又以絡絲一斤乘，為實。實如法得一斤。

〔按：練絲一斤為青絲一斤十二銖，此練率三百八十四，青率三百九十六也。

又絡絲一斤為練絲十二兩，此絡率十六，練率十二也。置今有青絲一斤，以練率三百八十四乘之，為實。實如青絲率三百九十六而一。所得，青絲一斤，練絲之數也。又以絡率十六乘之，所得為實；以練率十二為法。所得，即練絲用絡絲之數也。是謂重今有也。雖各有率，不問中間。故令后實乘前實，后法乘前法而併除也。故以練絲兩數為實，青絲銖數為法。一曰：又置絡絲一斤兩數與練絲十二兩，約之，絡得四，練得三。此其相與之率。又置練絲一斤銖數與青絲一斤一十二銖，約之，練得三十二，青得三十三。亦其相與之率。齊其青絲、絡絲，同其二練，絡得一百二十八，青得九十九，練得九十六，即三率悉通矣。今有青絲一斤為所有數，絡絲一百二十八為所求率，青絲九十九為所有率。為率之意猶此，但不先約諸率耳。凡率錯互不通者，皆積齊同用之。放此，雖四五轉不異也。言同其二練者，以明三率之相與通耳，於術無以異也。又一術：今有青絲一斤銖數乘練絲一斤兩數，為實；以青絲一斤一十二銖為法。所得，即用練絲兩數。以絡絲一斤乘所得為實，以練絲十二兩為法，所得，即用絡絲斤數也。〕今有惡粟二十斗，舂之，得糲米九斗。今欲求粺米一十斗，問惡粟幾何？答曰：二十四斗六升八十一分升之七十四。

術曰：置糲米九斗，以九乘之，為法。亦置粺米十斗，以十乘之，又以惡粟二十斗乘之，為實。實如法得一斗。

〔按：此術置今有求粺米十斗，以糲米率十乘之，如粺率九而一，即粺化為糲，又以惡粟率二十乘之，如糲率九而一，即糲亦化為惡粟矣。此亦重今有之義。為術之意猶絡絲也。雖各有率，不問中間。故令后實乘前實，后法乘前法而併除之也。〕今有善行者行一百步，不善行者行六十步。今不善行者先行一百步，善行者追之。問幾何步及之？答曰：二百五十步。

術曰：置善行者一百步，減不善行者六十步，餘四十步，以為法。以善行者之一百步乘不善行者先行一百步，為實。實如法得一步。

〔按：此術以六十步減一百步，餘四十步，即不善行者先行率也；善行者行一百步，追及率。約之，追及率得五，先行率得二。於今有術，不善行者先行一百步為所有數，五為所求率，二為所有率，而今有之，得追及步也。〕今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里。問善行者幾何里及之？答曰：三十三里少半里。

術曰：置不善行者先行一十里，以善行者先至二十里增之，以為法。以不善行者先行一十里乘善行者一百里，為實。實如法得一里。

〔按：此術不善行者既先行一十里，后不及二十里，並之，得三十里也，謂之先行率。善行者一百里為追及率。約之，先行率得三，三為所有率，而今有之，即得也。其意如上術也。〕今有兔先走一百步，犬追之二百五十步，不及三十步而止。問犬不止，復行幾何步及之？答曰：一百七步七分步之一。

術曰：置兔先走一百步，以犬走不及三十步減之，余為法。以不及三十步乘犬追步數為實。實如法得一步。

〔按：此術以不及三十步減先走一百步，餘七十步，為兔先走率。犬行二百五十步為追及率。約之，先走率得七，追及率得二十五。於今有術，不及三十步為所有數，二十五為所求率，七為所有率，而今有之，即得也。〕今有人持金十二斤出關，關稅之，十分而取一。今關取金二斤，償錢五千。

問金一斤值錢幾何？答曰：六千二百五十。

術曰：以一十乘二斤，以十二斤減之，余為法。以一十乘五千為實。實如法得一錢。

〔按：此術置十二斤，以一乘之，十而一，得一斤五分斤之一，即所當稅者也。減二斤，余即關取盈金。以盈除所償錢，即金值也。今術既以十二斤為所稅，則是以十為母，故以十乘二斤及所償錢，通其率。於今有術，五千錢為所有數，十為所求率，八為所有率，而今有之，即得也。〕今有客馬，日行三百里。客去忘持衣。日已三分之一，主人乃覺。持衣追及，與之而還；至家視日四分之三。問主人馬不休，日行幾何？答曰：七百八十里。

術曰：置四分日之三，除三分日之一，〔按：此術“置四分日之三，除三分日之一”者，除，其減也。減之餘，有十二分之五，即是主人追客還用日率也。〕半其餘，以為法。

〔去其還，存其往。率之者，子不可半，故倍母，二十四分之五。是為主人與客均行用日之率也。〕副置法，增三分日之一。

〔法二十四分之五者，主人往追用日之分也。三分之一者，客去主人未覺之前獨行用日之分也。並連此數，得二十四分日之十三，則主人追及前用日之分也。

是為客用日率也。然則主人用日率者，客馬行率也；客用日率者，主人馬行率也。

母同則子齊，是為客馬行率五，主人馬行率十三。於今有術，三百里為所有數，十三為所求率，五為所有率，而今有之，即得也。〕以三百里乘之，為實。實如法，得主人馬一日行。

〔欲知主人追客所行里者，以三百里乘客用日分子十三，以母二十四而一，得一百六十二里半。以此乘客馬與主人均行日分母二十四，如客馬與主人均行用日分子五而一，亦得主人馬一日行七百八十里也。〕今有金棰，長五尺，斬本一尺，重四斤；斬末一尺，重二斤。問次一尺各重幾何？答曰：末一尺重二斤。次一尺重二斤八兩。次一尺重三斤。次一尺重三斤八兩。次一尺重四斤。

術曰：令末重減本重，余，即差率也。又置本重，以四間乘之，為下第一衰。

副置，以差率減之，每尺各自為衰。

〔按：此術五尺有四間者，有四差也。今本末相減，余即四差之凡數也。以四約之，即得每尺之差。以差數減本重，余即次尺之重也。為術所置，如是而已。

今此率以四為母，故令母乘本為衰，通其率也。亦可置末重，以四間乘之，為上第一衰。以差重率加之，為次下衰也。〕副置下第一衰，以為法。以本重四斤遍乘列衰，各自為實。實如法得一斤。

〔以下第一衰為法，以本重乘其分母之數，而又反此率乘本重，為實。一乘一除，勢無損益，故惟本存焉。眾衰相推為率，則其餘可知也。亦可副置末衰為法，而以末重二斤乘列衰為實。此雖迂迴，然是其舊。故就新而言之也。〕今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等，問各得幾何？答曰：甲得一錢六分錢之二。乙得一錢六分錢之一。丙得一錢。丁得六分錢之五。戊得六分錢之四。

術曰：置錢，錐行衰。

〔按：此術“錐行”者，謂如立錐：初一、次二、次三、次四、次五，各均，為一列者也。〕並上二人為九，並下三人為六。六少於九，三。

〔數不得等，但以五、四、三、二、一為率也。〕以三均加焉，副並為法。以所分錢乘未並者，各自為實。實如法得一錢。

〔此問者，令上二人與下三人等，上、下部差一人，其差三。均加上部，則得二三；均加下部，則得三三。下部猶差一人，差得三，以通於本率，即上、下部等也。於今有術，副並為所有率，未並者各為所求率，五錢為所有數，而今有之，即得等耳。假令七人分七錢，欲令上二人與下五人等，則上、下部差三人。

並上部為十三，下部為十五。下多上少，下不足減上。當以上、下部列差而後均減，乃合所問耳。此可仿下術：令上二人分二錢半為上率，令下三人分二錢半為下率。上、下二率以少減多，余為實。置二人、三人，各半之，減五人，余為法。

實如法得一錢，即衰相去也。下衰率六分之五者，丁所得錢數也。〕今有竹九節，下三節容四升，上四節容三升。問中間二節慾均容，各多少？答曰：下初一升六十六分升之二十九。次一升六十六分升之二十二。次一升六十六分升之一十五。次一升六十六分升之八。次一升六十六分升之一。次六十六分升之六十。次六十六分升之五十三。次六十六分升之四十六。次六十六分升之三十九。

術曰：以下三節分四升為下率，以上四節分三升為上率。

〔此二率者，各其平率也。〕上、下率以少減多，余為實。

〔按：此上、下節各分所容為率者，各其平率。上、下以少減多者，余為中間五節半之凡差，故以為實也。〕置四節、三節，各半之，以減九節，余為法。實如法得一升。即衰相去也。

〔按此術法者，上下節所容已定之節，中間相去節數也；實者，中間五節半之凡差也。故實如法而一，則每節之差也。〕下率一升少半升者，下第二節容也。

〔一升少半升者，下三節通分四升之平率。平率即為中分節之容也。〕今有鳧起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海。今鳧、雁俱起，問何日相逢？答曰：三日十六分日之十五。

術曰：並日數為法，日數相乘為實，實如法得一日。

〔按：此術置鳧七日一至，雁九日一至。齊其至，同其日，定六十三日鳧九至，雁七至。今鳧、雁俱起而問相逢者，是為共至。並齊以除同，即得相逢日。

故“並日數為法”者，並齊之意；“日數相乘為實”者，猶以同為實也。一曰：鳧飛日行七分至之一，雁飛日行九分至之一。齊而同之，鳧飛定日行六十三分至之九，雁飛定日行六十三分至之七。是為南北海相去六十三分，鳧日行九分，雁日行七分也。並鳧、雁一日所行，以除南北相去，而得相逢日也。〕今有甲髮長安，五日至齊；乙發齊，七日至長安。今乙發已先二日，甲乃髮長安，問幾何日相逢？答曰：二日十二分日之一。

術曰：並五日、七日，以為法。

〔按：此術“並五日、七日為法”者，猶並齊為法。置甲五日一至，乙七日一至。齊而同之，定三十五日甲七至，乙五至。並之為十二至者，用三十五日也。

謂甲、乙與發之率耳。然則日化為至，當除日，故以為法也。〕以乙先發二日減七日，〔“減七日”者，言甲、乙俱發，今以發為始發之端，於本道里則余分也。〕也。

余，以乘甲日數為實。

〔七者，長安去齊之率也；五者，后發相去之率也。今問后發，故舍七用五。

以乘甲五日，為二十五日。言甲七至，乙五至，更相去，用此二十五日也。

實如法得一日。

〔一日甲行五分至之一，乙行七分至之一。齊而同之，甲定日行三十五分至之七，乙定日行三十五分至之五。是為齊去長安三十五分，甲日行七分，乙日行五分也。今乙先行發二日，已行十分，余，相去二十五分。故減乙二日，余，令相乘，為二十五分。〕今有一人一日為牝瓦三十八枚，一人一日為牡瓦七十六枚。今令一人一日作瓦，牝、牡相半，問成瓦幾何？答曰：二十五枚少半枚。

術曰：並牝、牡為法，牝、牡相乘為實，實如法得一枚。

〔此意亦與鳧雁同術。牝、牡瓦相併，猶如鳧、雁日飛相併也。按：此術“並牝、牡為法”者，並齊之意；“牝、牡相乘為實”者，猶以同為實也。故實如法，即得也。〕今有一人一日矯矢五十，一人一日羽矢三十，一人一日摐矢十五。今令一人一日自矯、羽、摐，問成矢幾何？答曰：八矢少半矢。

術曰：矯矢五十，用徒一人；羽矢五十，用徒一人太半人；摐矢五十，用徒三人少半人。並之，得六人，以為法。以五十矢為實。實如法得一矢。

〔按：此術言成矢五十，用徒六人，一日工也。此同工其作，猶鳧、雁共至之類，亦以同為實，並齊為法。可令矢互乘一人為齊，矢相乘為同。今先令同於五十矢。矢同則徒齊，其歸一也。——以此術為鳧雁者，當雁飛九日而一至，鳧飛九日而一至七分至之二。並之，得二至七分至之二，以為法。以九日為實。——實如法而一，得一人日成矢之數也。〕今有假田，初假之歲三畝一錢，明年四畝一錢，後年五畝一錢。凡三歲得一百。問田幾何？答曰：一頃二十七畝四十七分畝之三十一。

術曰：置畝數及錢數。令畝數互乘錢數，並，以為法。畝數相乘，又以百錢乘之，為實。實如法得一畝。

〔按：此術令畝互乘錢者，齊其錢；畝數相乘者，同其畝。同於六十，則初假之歲得錢二十，明年得錢十五，後年得錢十二也。凡三歲得錢一百，為所有數，同畝為所求率，四十七錢為所有率，今有之，即得也。齊其錢，同其畝，亦如鳧雁術也。於今有術，百錢為所有數，同畝為所求率，並齊為所有率。

淳風等按：假田六十畝，初歲得錢二十，明年得錢十五，後年得錢十二。

並之，得錢四十七。是為得田六十畝，三歲所假。於今有術，百錢為所有數，六十畝為所求率，四十七為所有率，而今有之，即合問也。〕今有程耕，一人一日發七畝，一人一日耕三畝，一人一日耰種五畝。今令一人一日自發、耕、耰種之，問治田幾何？答曰：一畝一百一十四步七十一分步之六十六。

術曰：置發、耕、耰畝數，令互乘人數，並，以為法。畝數相乘為實。實如法得一畝。

〔此猶鳧雁術也。

淳風等按：此術亦發、耕、耰種畝數互乘人者，齊其人；畝數相乘者，同其畝。故並齊為法，以同為實。計田一百五畝，發用十五人，耕用三十五人，種用二十一人。並之，得七十一工。治得一百五畝，故以為實。而一人一日所治，故以人數為法除之，即得也。〕今有池，五渠注之。其一渠開之，少半日一滿，次一日一滿，次二日半一滿，次三日一滿，次五日一滿。今皆決之，問幾何日滿池？答曰：七十四分日之十五。

術曰：各置渠一日滿池之數，並，以為法。

〔按：此術其一渠少半日滿者，是一日三滿也；次一日一滿；次二日半滿者，是一日五分滿之二也；次三日滿者，是一日三分滿之一也；次五日滿者，是一日五分滿之一也。並之，得四滿十五分滿之十四也。〕以一日為實，實如法得一日。

〔此猶矯矢之術也。先令同於一日，日同則滿齊。自鳧雁至此，其為同齊有二術焉，可隨率宜也。〕其一術：各置日數及滿數。

〔其一渠少半日滿者，是一日三滿也；次一日一滿；次二日半滿者，是五日二滿；次三日一滿，次五日一滿。此謂之列置日數及滿數也。〕令日互相乘滿，並，以為法。日數相乘為實。實如法得一日。

〔亦如鳧雁術也。按：此其一渠少半日滿池者，是一日三滿池也；次一日一滿；次二日半滿者，是五日再滿；次三日一滿；次五日一滿。此謂列置日數於右行，及滿數於左行。以日互乘滿者，齊其滿；日數相乘者，同其日。滿齊而日同，故並齊以除同，即得也。〕今有人持米出三關，外關三而取一，中關五而取一，內關七而取一，余米五斗。問本持米幾何？答曰：十斗九升八分升之三。

術曰：置米五斗，以所稅者三之，五之，七之，為實。以余不稅者二、四、六相互乘為法。實如法得一斗。

〔此亦重今有也。所稅者，謂今所當稅之。定三、五、七皆為所求率，二、四、六皆為所有率。置今有餘米五斗，以七乘之，六而一，即內關未稅之本米也。

又以五乘之，四而一，即中關未稅之本米也。又以三乘之，二而一，即外關未稅之本米也。今從末求本，不問中間，故令中率轉相乘而同之，亦如絡絲術。

又一術：外關三而取一，則其餘本米三分之二也。求外關所稅之餘，則當置一，二分乘之，三而一。欲知中關，以四乘之，五而一。欲知內關，以六乘之，七而一。凡余分者，乘其母、子：以三、五、七相乘得一百五，為分母；二、四、六相乘，得四十八，為分子。約而言之，則是余米於本所持三十五分之十六也。

於今有術，余米五斗為所有數，分母三十五為所求率，分子十六為所有率也。〕今有人持金出五關，前關二而稅一，次關三而稅一，次關四而稅一，次關五而稅一，次關六而稅一。並五關所稅，適重一斤。問本持金幾何？答曰：一斤三兩四銖五分銖之四。

術曰：置一斤，通所稅者以乘之，為實。亦通其不稅者，以減所通，余為法。

實如法得一斤。

〔此意猶上術也。“置一斤，通所稅者”，謂令二、三、四、五、六相乘，為分母，七百二十也。“通其所不稅者”，謂令所稅之餘一、二、三、四、五相乘，為分子，一百二十也。約而言之，是為余金於本所持六分之一也。以子減母，凡五關所稅六分之五也。於今有術，所稅一斤為所有數，分母六為所求率，分子五為所有率。此亦重今有之義。又雖各有率，不問中間，故令中率轉相乘而連除之，即得也。置一以為持金之本率，以稅率乘之、除之，則其率亦成積分也。〕