《卷四》

《卷四》作者：張蒼

○少廣（以御積冪方圓）少廣〔淳風等按：一畝之田，廣一步，長二百四十步。今欲截取其從少，以益其廣，故曰少廣。〕術曰：置全步及分母子，以最下分母遍乘諸分子及全步，〔淳風等按：以分母乘全步者，通其分也；以母乘子者，齊其子也。〕各以其母除其子，置之於左，命通分者，又以分母遍乘諸分子及已通者，皆通而同之。並之為法。

〔淳風等按：諸子悉通，故可並之為法。亦宜用合分術，列數尤多，若用乘則算數至繁，故別制此術，從省約。〕置所求步數，以全步積分乘之為實。

〔此以田廣為法，以畝積步為實。法有分者，當同其母，齊其子，以同乘法實，而並齊於法。今以分母乘全步及子，子如母而一，並以並全法，則法實俱長，意亦等也。故如法而一，得從步數。〕實如法而一，得從步。

今有田廣一步半。求田一畝，問從幾何？答曰：一百六十步。

術曰：下有半，是二分之一。以一為二，半為一，並之，得三，為法。置田二百四十步，亦以一為二乘之，為實。實如法得從步。

今有田廣一步半、三分步之一。求田一畝，問從幾何？答曰：一百三十步一十一分步之一十。

術曰：下有三分，以一為六，半為三，三分之一為二，並之，得一十一，為法。置田二百四十步，亦以一為六乘之，為實。實如法得從步。

今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一。求田一畝，問從幾何？答曰：一百一十五步五分步之一。

術曰：下有四分，以一為一十二，半為六，三分之一為四，四分之一為三，並之，得二十五，以為法。置田二百四十步，亦以一為一十二乘之，為實。實如法而一，得從步。

今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一。求田一畝，問從幾何？答曰：一百五步一百三十七分步之一十五。

術曰：下有五分，以一為六十，半為三十，三分之一為二十，四分之一為一十五，五分之一為一十二，並之，得一百三十七，以為法。置田二百四十步，亦以一為六十乘之，為實。實如法得從步。

今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一。求田一畝，問從幾何？答曰：九十七步四十九分步之四十七。

術曰：下有六分，以一為一百二十，半為六十，三分之一為四十，四分之一為三十，五分之一為二十四，六分之一為二十，並之，得二百九十四，以為法。

置田二百四十步，亦以一為一百二十乘之，為實。實如法得從步。

今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一。求田一畝，問從幾何？答曰：九十二步一百二十一分步之六十八。

術曰：下有七分，以一為四百二十，半為二百一十，三分之一為一百四十，四分之一為一百五，五分之一為八十四，六分之一為七十，七分之一為六十，並之，得一千八十九，以為法。置田二百四十步，亦以一為四百二十乘之，為實。

實如法得從步。

今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一。求田一畝，問從幾何？答曰：八十八步七百六十一分步之二百三十二。

術曰：下有八分，以一為八百四十，半為四百二十，三分之一為二百八十，四分之一為二百一十，五分之一為一百六十八，六分之一為一百四十，七分之一為一百二十，八分之一為一百五，並之，得二千二百八十三，以為法。置田二百四十步，亦以一為八百四十乘之，為實。實如法得從步。

今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一。求田一畝，問從幾何？答曰：八十四步七千一百二十九分步之五千九百六十四。

術曰：下有九分，以一為二千五百二十，半為一千二百六十，三分之一為八百四十，四分之一為六百三十，五分之一為五百四，六分之一為四百二十，七分之一為三百六十，八分之一為三百一十五，九分之一為二百八十，並之，得七千一百二十九，以為法。置田二百四十步，亦以一為二千五百二十乘之，為實。實如法得從步。

今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一。求田一畝、問從幾何？答曰：八十一步七千三百八十一分步之六千九百三十九。

術曰：下有一十分，以一為二千五百二十，半為一千二百六十，三分之一為八百四十，四分之一為六百三十，五分之一為五百四，六分之一為四百二十，七分之一為三百六十，八分之一為三百一十五，九分之一為二百八十，十分之一為二百五十二，並之，得七千三百八十一，以為法。置田二百四十步，亦以一為二千五百二十乘之，為實。實如法得從步。

今有田廣一步半、三分步之一、四分之步一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一。求田一畝，問從幾何？答曰：七十九步八萬三千七百一十一分步之三萬九千六百三十一。

術曰：下有一十一分，以一為二萬七千七百二十，半為一萬三千八百六十，三分之一為九千二百四十，四分之一為六千九百三十，五分之一為五千五百四十四，六分之一為四千六百二十，七分之一為三千九百六十，八分之一為三千四百六十五，九分之一為三千八十，一十分之一為二千七百七十二，一十一分之一為二千五百二十，並之，得八萬三千七百一十一，以為法。置田二百四十步，亦以一為二萬七千七百二十乘之，為實。實如法得從步。

今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一，五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一、十二分步之一。求田一畝，問從幾何？答曰：七十七步八萬六千二十一分步之二萬九千一百八十三。

術曰：下有一十二分，以一為八萬三千一百六十，半為四萬一千五百八十，三分之一為二萬七千七百二十，四分之一為二萬七百九十，五分之一為一萬六千六百三十二，六分之一為一萬三千八百六十，七分之一為一萬一千八百八十，八分之一為一萬三百九十五，九分之一為九千二百四十，一十分之一為八千三百一十六，十一分之一為七千五百六十，十二分之一為六千九百三十，並之，得二十五萬八千六十三，以為法。置田二百四十步，亦以一為八萬三千一百六十乘之，為實。實如法得從步。

〔淳風等按：凡為術之意，約省為善。宜云“下有一十二分，以一為二萬七千七百二十，半為一萬三千八百六十，三分之一為九千二百四十，四分之一為六千九百三十，五分之一為五千五百四十四，六分之一為四千六百二十，七分之一為三千九百六十，八分之一為三千四百六十五，九分之一為三千八十，十分之一為二千七百七十二，十一分之一為二千五百二十，十二分之一為二千三百一十，並之，得八萬六千二十一，以為法。置田二百四十步，亦以一為二萬七千七百二十乘之，以為實。實如法得從步。”其術亦得知，不繁也。〕今有積五萬五千二百二十五步，問為方几何？答曰：二百三十五步。

又有積二萬五千二百八十一步，問為方几何？答曰：一百五十九步。

又有積七萬一千八百二十四步，問為方几何？答曰：二百六十八步。

又有積五十六萬四千七百五十二步四分步之一，問為方几何？答曰：七百五十一步半。

又有積三十九億七千二百一十五萬六百二十五步，問為方几何？答曰：六萬三千二十五步。

○開方〔求方冪之一面也。〕術曰：置積為實。借一算，步之，超一等。

〔言百之面十也。言萬之面百也。〕議所得，以一乘所借一算為法，而以除。

〔先得黃甲之面，上下相命，是自乘而除也。〕除已，倍法為定法。

〔倍之者，豫張兩面朱冪定袤，以待復除，故曰定法。〕其復除，折法而下。

〔欲除朱冪者，本當副置所得成方，倍之為定法，以折、議、乘，而以除。

如是當復步之而止，乃得相命。故使就上折下。〕復置借算，步之如初。以複議一乘之，〔欲除朱冪之角黃乙之冪，其意如初之所得也。〕所得副以加定法，以除。以所得副從定法。

〔再以黃乙之面加定法者，是則張兩青冪之袤。〕復除，折下如前。若開之不盡者，為不可開，當以面命之。

〔術或有以借算加定法而命分者，雖粗相近，不可用也。凡開積為方，方之自乘當還復有積分。令不加借算而命分，則常微少；其加借算而命分，則又微多。

其數不可得而定。故惟以面命之，為不失耳。譬猶以三除十，以其餘為三分之一，而復其數可以舉。不以面命之，加定法如前，求其微數。微數無名者以為分子，其一退以十為母，其再退以百為母。退之彌下，其分彌細，則朱冪雖有所棄之數，不足言之也。〕若實有分者，通分內子為定實，乃開之。訖，開其母，報除。

〔淳風等按：分母可開者，並通之積先合二母。既開之後，一母尚存，故開分母，求一母為法，以報除也。〕若母不可開者，又以母乘定實，乃開之。訖，令如母而一。

〔淳風等按：分母不可開者，本一母也。又以母乘之，乃合二母。既開之後，亦一母存焉，故令一母而一，得全面也。

又按：此術“開方”者，求方冪之面也。借一算者，假借一算，空有列位之名，而無除積之實。方隅得面，是故借算列之於下。“步之超一等”者，方十自乘，其積有百，方百自乘，其積有萬，故超位，至百而言十，至萬而言百。“議所得，以一乘所借算為法，而以除”者，先得黃甲之面，以方為積者兩相乘，故開方除之，還令兩面上下相命，是自乘而除之。“除已，倍法為定法”者，實積未盡，當復更除，故豫張兩面朱冪袤，以待復除，故曰定法。“其復除，折法而下”者，欲除朱冪，本當副置所得成方，倍之為定法，以折、議、乘之，而以除，如是，當復步之而止，乃得相命。故使就上折之而下。“復置借算，步之如初，以複議一乘之，所得副以加定法，以定法除”者。欲除朱冪之角黃乙之冪。“以所得副從定法”者，再以黃乙之面加定法，是則張兩青冪之袤，故如前開之，即合所問。〕今有積一千五百一十八步四分步之三。問為圓周幾何？答曰：一百三十五步。

〔於徽術，當周一百三十八步一十分步之一。

淳風等按：此依密率，為周一百三十八步五十分步之九。〕又有積三百步，問為圓周幾何？答曰：六十步。

〔於徽術，當周六十一步五十分步之十九。

淳風等按：依密率，為周六十一步一百分步之四十一。〕開圓術曰：置積步數，以十二乘之，以開方除之，即得周。

〔此術以周三徑一為率，與舊圓田術相返覆也。於徽術，以三百一十四乘積，如二十五而一，所得，開方除之，即周也。開方除之，即徑。是為據見冪以求周，猶失之於微少。其以二百乘積，一百五十七而一，開方除之，即徑，猶失之於微多。

淳風等按：此注於徽術求周之法，其中不用“開方除之，即徑”六字，今本有者，衍剩也。依密率，八十八乘之，七而一。按周三徑一之率，假令周六徑二，半周半徑相乘得冪三，周六自乘得三十六。俱以等數除冪，得一周之數十二也。其積：本周自乘，合以一乘之，十二而一，得積三也。術為一乘不長，故以十二而一，得此積。今還原，置此積三，以十二乘之者，復其本周自乘之數。凡物自乘，開方除之，復其本數，故開方除之，即周。〕今有積一百八十六萬八百六十七尺，〔此尺謂立方尺也。凡物有高、深而言積者，曰立方。〕問為立方几何？答曰：一百二十三尺。

又有積一千九百五十三尺八分尺之一，問為立方几何？答曰：一十二尺半。

又有積六萬三千四百一尺五百一十二分尺之四百四十七，問為立方几何？答曰：三十九尺八分尺之七。

又有積一百九十三萬七千五百四十一尺二十七分尺之一十七，問為立方几何？答曰：一百二十四尺太半尺。

開立方〔立方適等，求其一面也。〕術曰：置積為實。借一算，步之，超二等。

〔言千之面十，言百萬之面百。〕議所得，以再乘所借一算為法，而除之。

〔再乘者，亦求為方冪。以上議命而除之，則立方等也。〕除已，三之為定法。

〔為當復除，故豫張三面，以定方冪為定法也。〕復除，折而下。

〔復除者，三面方冪以皆自乘之數，須得折、議，定其厚薄爾。開平冪者，方百之面十；開立冪者，方千之面十。據定法已有成方之冪，故復除當以千為百，折下一等也。〕以三乘所得數，置中行。

〔設三廉之定長。〕復借一算，置下行。

〔欲以為隅方。立方等未有定數，且置一算定其位。〕步之，中超一，下超二等。

〔上方法，長自乘而一折，中廉法，但有長，故降一等；下隅法，無面長，故又降一等也。〕復置議，以一乘中，〔為三廉備冪也。〕再乘下，〔令隅自乘，為方冪也。〕皆副以加定法。以定法除。

〔三面、三廉、一隅皆已有冪，以上議命之而除，去三冪之厚也。〕除已，倍下，並中，從定法。

〔凡再以中、三以下，加定法者，三廉各當以兩面之冪連於兩方之面，一隅連於三廉之端，以待復除也。言不盡意，解此要當以棋，乃得明耳。〕復除，折下如前。開之不盡者，亦為不可開。

〔術亦有以定法命分者，不如故冪開方，以微數為分也。〕若積有分者，通分內子為定實。定實乃開之。訖，開其母以報除。

〔淳風等按：分母可開者，並通之積先合三母。既開之後一母尚存，故開分母，求一母，為法，以報除也。〕若母不可開者，又以母再乘定實，乃開之。訖，令如母而一。

〔淳風等按：分母不可開者，本一母也。又以母再乘之，令合三母。既開之後，一母猶存，故令一母而一，得全面也。

按：“開立方”知，立方適等，求其一面之數。“借一算，步之，超二等”者，但立方求積，方再自乘，就積開之，故超二等，言千之面十，言百萬之面百。

“議所得，以再乘所借算為法，而以除”知，求為方冪，以議命之而除，則立方等也。“除已，三之為定法”，為積未盡，當復更除，故豫張三面已定方冪為定法。“復除，折而下”知，三面方冪皆已有自乘之數，須得折、議定其厚薄。據開平方，百之面十，其開立方，即千之面十。而定法已有成方之冪，故復除之者，當以千為百，折下一等。“以三乘所得數，置中行”者，設三廉之定長。“復借一算，置下行”者，欲以為隅方，立方等未有數，且置一算定其位也。“步之，中超一，下超二”者，上方法長自乘而一折，中廉法但有長，故降一等，下隅法無面長，故又降一等。“復置議，以一乘中”者，為三廉備冪。“再乘下”，當令隅自乘為方冪。“皆副以加定法，以定法除者，三面、三廉、一隅皆已有冪，以上議命之而除，去三冪之厚。“除已，倍下、並中，從定法”者，三廉各當以兩面之冪連於兩方之面，一隅連於三廉之端，以待復除。其開之不盡者，折下如前，開方，即合所問。“有分者，通分內子開之。訖，開其母以報除”，“可開者，並通之積，先合三母；既開之後，一母尚存，故開分母”者，“求一母為法，以報除。”“若母不可開者，又以母再乘定實，乃開之。訖，令如母而一”，分母不可開者，本一母，又以母再乘，令合三母，既開之後，亦一母尚存。故令如母而一，得全面也。〕今有積四千五百尺。

〔亦謂立方之尺也。〕問為立圓徑幾何？答曰：二十尺。

〔依密率，立圓徑二十尺，計積四千一百九十尺二十一分尺之一十。〕又有積一萬六千四百四十八億六千六百四十三萬七千五百尺。問為立圓徑幾何？答曰：一萬四千三百尺。

〔依密率，為徑一萬四千六百四十三尺四分尺之三。〕開立圓術曰：置積尺數，以十六乘之，九而一，所得，開立方除之，即立圓徑。

〔立圓，即丸也。為術者，蓋依周三徑一之率。令圓冪居方冪四分之三，圓囷居立方亦四分之三。更令圓囷為方率十二，為丸率九，丸居圓囷又四分之三也。

置四分自乘得十六，三分自乘得九，故丸居立方十六分之九也。故以十六乘積，九而一，得立方之積。丸徑與立方等，故開立方而除，得徑也。然此意非也。何以驗之？取立方棋八枚，皆令立方一寸，積之為立方二寸。規之為圓囷，徑二寸，高二寸。又復橫因之，則其形有似牟合方蓋矣。八棋皆似陽馬，圓然也。按：合蓋者，方率也，丸居其中，即圓率也。推此言之，謂夫圓囷為方率，豈不闕哉？以周三徑一為圓率，則圓冪傷少；令圓囷為方率，則丸積傷多，互相通補，是以九與十六之率偶與實相近，而丸猶傷多耳。觀立方之內，合蓋之外，雖衰殺有漸，而多少不掩。判合總結，方圓相纏，濃纖詭互，不可等正。欲陋形措意，懼失正理。敢不闕疑，以俟能言者。

黃金方寸，重十六兩；金丸徑寸，重九兩，率生於此，未曾驗也。《周官·考工記》：“朅氏為量，改煎金錫則不耗，不耗然後權之，權之然後准之，准之然後量之。”言煉金使極精，而後分之則可以為率也。令丸逕自乘，三而一，開方除之，即丸中之立方也。假令丸中立方五尺，五尺為句，句自乘冪二十五尺。

倍之得五十尺，以為弦冪，謂平面方五尺之弦也。以此弦為股，亦以五尺為句，並句股冪得七十五尺，是為大弦冪。開方除之，則大弦可知也。大弦則中立方之長邪，邪即丸徑。故中立方自乘之冪於丸逕自乘之冪，三分之一也。今大弦還乘其冪，即丸外立方之積也。大弦冪開之不盡，令其冪七十五再自乘之，為面，命得外立方積，四十二萬一千八百七十五尺之面。又令中立方五尺自乘，又以方乘之，得積一百二十五尺，一百二十五尺自乘，為面，命得積，一萬五千六百二十五尺之面。皆以六百二十五約之，外立方積，六百七十五尺之面，中立方積，二十五尺之面也。

張衡算又謂立方為質，立圓為渾。衡言質之與中外之渾：六百七十五尺之面，開方除之，不足一，謂外渾積二十六也；內渾，二十五之面，謂積五尺也。今徽令質言中渾，渾又言質，則二質相與之率猶衡二渾相與之率也。衡蓋亦先二質之率推以言渾之率也。衡又言：“質，六十四之面；渾，二十五之面。”質復言渾，謂居質八分之五也。又云：方，八之面；圓，五之面。”圓渾相推，知其復以圓囷為方率，渾為圓率也，失之遠矣。衡說之自然欲協其陰陽奇偶之說而不顧疏密矣。雖有文辭，斯亂道破義，病也。置外質積二十六，以九乘之，十六而一，得積十四尺八分尺之五，即質中之渾也。以分母乘全內子，得一百一十七。又置內質積五，以分母乘之，得四十，是謂質居渾一百一十七分之四十，而渾率猶為傷多也。假令方二尺，方四面，並得八尺也，謂之方周。其中令圓徑與方等，亦二尺也。圓半徑以乘圓周之半，即圓冪也。半方以乘方周之半，即方冪也。然則方周知，方冪之率也；圓周知，圓冪之率也。按：如衡術，方周率八之面，圓周率五之面也。令方周六十四尺之面，圓周四十尺之面也。又令徑二尺自乘，得徑四尺之面，是為圓周率十之面，而徑率一之面也。衡亦以周三徑一之率為非，是故更著此法，然增周太多，過其實矣。

淳風等按：祖暅之謂劉徽、張衡二人皆以圓囷為方率，丸為圓率，乃設新法。祖暅之開立圓術曰：“以二乘積，開立方除之，即立圓徑。其意何也？取立方棋一枚，令立樞於左後之下隅，從規去其右上之廉；又合而衡規之，去其前上之廉。於是立方之棋分而為四，規內棋一，謂之內棋；規外棋三，謂之外棋。

規更合四棋，復橫斷之。以句股言之，令余高為句，內棋斷上方為股，本方之數，其弦也。句股之法：以句冪減弦冪，則余為股冪。若令余高自乘，減本方之冪，余即內棋斷上方之冪也。本方之冪即此四棋之斷上冪。然則余高自乘，即外三棋之斷上冪矣。不問高卑，勢皆然也。然固有所歸同而途殊者爾。而乃控遠以演類，借況以析微。按：陽馬方高數參等者，倒而立之，橫截去上，則高自乘與斷上冪數亦等焉。夫疊棋成立積，緣冪勢既同，則積不容異。由此觀之，規之外三棋旁蹙為一，即一陽馬也。三分立方，則陽馬居一，內棋居二可知矣。合八小方成一大方，合八內棋成一合蓋。內棋居小方三分之二，則合蓋居立方亦三分之二，較然驗矣。置三分之二，以圓冪率三乘之，如方冪率四而一，約而定之，以為丸率。

故曰丸居立方二分之一也。”等數既密，心亦昭晢。張衡放舊，貽哂於後，劉徽循故，未暇校新。夫豈難哉，抑未之思也。依密率，此立圓積，本以圓徑再自乘，十一乘之，二十一而一，得此積。今欲求其本積，故以二十一乘之，十一而一。

凡物再自乘，開立方除之，復其本數。故立方除之，即丸徑也。〕