第13章進制內的數和進制外的數

埃斯皮諾薩在紙上寫出1和π，然後說：你們看，它們有什麼不同？有理數和無理數是吧！其實也對，不過不是我想要表達的內容。為了讓你們明白我所說的，我要先提一下進制。說起進制，大家可能有點陌生。如果說二進制、十進制、十六進制和六十進制呢，你們就應該很熟悉。我們一般使用的是十進制，而它就是進制的一種。我要說的是進制內的數和進制外的數，1和π就分別屬於它們。我知道大家有些困惑，我就來講解一下。它們是怎麼區分的呢？其實就是在條件理想的情況是否可以寫出來。換句話說，就是是否無限。如果有限，就是進制內的數。如果不是，就是進制外的數。為什麼會如此呢？我覺得無限就是進制的問題，換個進制也許就不是無限了。所以，才有這兩種數。你們認為我的觀點正確嗎？

小尼拿起紙，反覆看個不停。口中念念有詞，眼睛撲閃撲閃。良久，他說道：我們都知道0.9的循環等於1。而按照你的說法它們分別就是進制內的數和進制外的數，這兩種數怎麼能相等呢？1怎麼會既是無限的又是有限的呢？我覺得你的觀點不正確。

艾麗西亞說：有點太武斷了。我計算過了在九進制里1/3等於0.33，不是無限循環小數。所以，這就足以說明無限循環小數是由於進制而產生的。至於π，我就不清楚了。可能變換一下進制，就不是無理數了。所以，這個問題還不能下定論。不過，我對埃斯皮諾薩有信心。我覺得無理數就是進制外的數。

回到小尼的問題上，進制內的數和進制外的數可能相等嗎？其實它們都是基於一個進制而言的。在一個進制里，進制內的數是多數而進制外的數是少數。雖然它是進制外的數，但是還是這個進制里的數。這是什麼意思呢？就是它們的這種進制外的特徵會在某些時候消失，也就是會變成進制內的數。所以，進制外的數也可以看做是這個進制的數。舉個例子，0.3的循環是進制外的數，但是它的三倍又會變成進制內的數。也就是有限的一。我覺得π的平方一定是有限數。為什麼不是有理數呢？其實，有理數包含有限數和無限循環小數，有限數就是有限的。對於這種現象，我叫做進制外的數回歸。進制外的數回歸充分說明數系的規律性，進制對數的強大約束力。

小尼又說：我覺得π的平方會是無限循環小數，而不是有限數。所以，進制外的數回歸在無理數上根本不會發生。不過，我也認同無限循環小數是由進制產生的這種說法。

不過，我又突然覺得π的平方還是無理數。你們覺得呢？

埃斯皮諾薩斬金截鐵地說：我覺得π的平方是不會是無理數，也可能不是無限循環小數。其實，我們也只是猜測而已。無理數的研究還要依靠科學家，而我們只有慢慢等待結果了。

數果然很奇妙，可以讓人進行無限的遐想。

對了，我要去想新的話題了。你們自便吧！