第506章 Zermelo-Fraenkel集理論公理

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Zermelo-Fraenkel集理論公理

（從過渡性ZFC模型重定向）

Zermelo-Frankel集理論與選擇公理（ZFC）是集合理論家使用公理的標準集合。用於表達每個公理的正式語言是一階的，具有平等性（==）和一個二進制關係符號，∈∈，意在表示集合成員資格。零集公理和分離模式被後來更具包容性的公理所取代。

公理

擴展性

集合由其元素唯一確定。這正式表示為

xy(z(z∈xz∈y)→x=y).xy(z(z∈xz∈y)→x=y).

“→→”可以替換為“”，但是←←方向是一個邏輯定理。或者，可延伸性公理可以作為平等的定義，也可以用它來代替它：

xy(a(a∈xa∈y)→b(x∈by∈b))xy(a(a∈xa∈y)→b(x∈by∈b))

意味着具有相同元素的集合屬於相同的集合。

空集

有一些集合。事實上，有一套沒有成員。這是正式表達的

xy(yx).xy(yx).

這樣一個x按擴展性是唯一的，此集合表示為。

配對

對於任何兩套xx和yy（不一定不同）還有一套zz誰的成員正是佈景？xx和yy。

xyzw(w∈z(w=x∨w=y)).xyzw(w∈z(w=x∨w=y)).

這樣一個z因擴展性而獨一無二，並表示為{x，y}{x，y}。

工會

對於任何一套xx還有一套yy其成員正是所有成員xx。也就是說，集合的所有成員的聯盟都存在。這正式表示為

xyz(z∈yw(w∈x∧z∈w)).xyz(z∈yw(w∈x∧z∈w)).

這樣一個y因擴展性而獨一無二，並被寫成y=xy=x。

基礎（或規律性）

每套非空集x成員與x，確保任何集合都不能直接或間接包含自己。這正式表示為

x≠y∈xz(z∈x∧z∈y).x≠y∈xz(z∈x∧z∈y).

同樣，根據選擇公理，沒有無限的降序∈x2∈x1∈x0∈x2∈x1∈x0。

分離模式

對於任何一套aa和任何謂詞P(x)P(x)用ZFC的語言寫，集合{x∈a:P(x)}{x∈a:P(x)}存在。更詳細地說，給定任何公式φ有自由變量x1，x2，…，xnx1，x2，…，xn以下是一個公理：

ax1x2…xnyz(z∈y(z∈a∧φ(x1，x2，…，xn，z))ax1x2…xnyz(z∈y(z∈a∧φ(x1，x2，…，xn，z))

這樣一個y，以擴展性獨一無二，並被寫入（適用於固定集）a，x1…，xna，x1…，xn）y={z∈a:φ(x1，x2，…，xn，z)}y={z∈a:φ(x1，x2，…，xn，z)}。

到目前為止，我們無法證明無限集的存在。即Vω，∈是前五個公理和無限多分離實例的模型。每個成員Vω事實上是有限的Vω是世襲有限集的集合。這基本上是標準模型。

無限

有無限的集合。這正式表示為

x(∈x∧z(z∈x→z∪{z}∈x).x(∈x∧z(z∈x→z∪{z}∈x).

此時我們可以定義ω，+，ω，+，和在ωω，得出基本事實ω以及數學歸納原理ω（即，我們可以證明皮亞諾公理在ω，+，ω，+，）。但我們還不能證明一個數不清的集合的存在。

電源設置

對於任何一套x還有一套y作為成員，所有子集x沒有其他元素。y是電源集x。這正式表示為

xyz(z∈yw(w∈z→w∈x))xyz(z∈yw(w∈z→w∈x))

[獨特的yy寫成y=(x)y=P(x).]

定義有序對(a，b)(a，b)是{{a}，{a，b}}{{a}，{a，b}}。關係作為有序對的集合，函數作為關係ff以至於(a，b)∈f(a，b)∈f和(a，c)∈f(a，c)∈f暗示b=cb=c。

選擇

這個公理有很多公式。這是歷史上最具爭議的公理ZFCZFC。

x[y(y∈x→y≠)→f(domf=x∧a∈x(f(a)∈a))]x[y(y∈x→y≠)→f(domf=x∧a∈x(f(a)∈a))]

Zermelo（1908年）明確闡述了上述公理產生的理論。大多數經典數學都可以在這個理論中進行，但令人驚訝的是，沒有比(ω2)(ω2)可以證明存在於這一理論中（至少對Zermelo來說是這樣，他只是忽視了Frankel和其他人發現的下一個公理）。

替換模式

如果aa是一套，對所有人來說x∈ax∈a有一個獨特的y以至於(x，y)(x，y)滿足給定的財產，然後收集此類財產y這是一套。更詳細地說，給定一個公式φ(x1，…，xn，x，y)φ(x1，…，xn，x，y)以下是替換模式的實例：

ax1…xn[(x∈a!yφ(x1，…，xn，x，y))→zw(w∈zu∈aφ(x1，…，xn，u，w))].ax1…xn[(x∈a!yφ(x1，…，xn，x，y))→zw(w∈zu∈aφ(x1，…，xn，u，w))].

更換申請

替換公理證明，每個有序集都與（唯一）序數同構。

證明。只需為每個世界展示這一點。L，

xα(x∈Vα)xα(x∈Vα)。

對於所有序數α，α存在（即為每個α至少有α+1α+1-許多無限紅衣主教）。

此外，置換公理也證明了分離公理，反過來又證明了空集公理。此外，與功率集公理一起證明了配對公理。

ZFC的一致性

斷言Con(ZFC)Con(ZFC)是理論的斷言ZFC是一致的。這是一個複雜的斷言Π01Π10在算術中，因為它斷言每個自然數都不是哥德爾代碼，證明來自ZFC。由於Gdel完整性定理，該斷言等同於該理論ZFC有模型M，∈M，∈^。其中一種模型是Henkin模型，該模型基於任何完全一致的Henkin理論擴展的句法程序ZFC。一般來說，人們可能不會認為∈∈^是實際集成員關係，因為這將使模型成為ZFC，其存在比Con(ZFC)Con(ZFC)。

哥德爾不完全性定理意味着如果ZFCZFC是一致的，那麼它就不能證明Con(ZFC)Con(ZFC)，因此這個公理的添加嚴格來說比ZFC獨自一人。

表達方式Con2(ZFC)Con2(ZFC)表示斷言Con(ZFC+Con(ZFC))Con(ZFC+Con(ZFC))，更籠統地疊代這一點，人們可能會考慮這種說法Conα(ZFC)Conα(ZFC)每當α本身是可以表達的。

及過渡模型

一種傳遞模型ZFCZFC是一套及物MM以至於結構M，∈M，∈滿足所有ZFC集合理論公理。這種模式的存在嚴格來說比Con(ZFC)Con(ZFC)比疊代一致性層次結構更強大，但比世俗紅衣主教、紅衣主教的存在更弱κκ為了哪個VκVκ是ZFC，因此也比無法接近的紅衣主教的存在更弱。並非所有及物動詞模型ZFCZFC有Vκ形式，因為如果有任何及物模型ZFC，然後通過Lwenheim-Skolem定理和Mostowski崩潰引理，有一個可數的這種模型，這些模型從來沒有形式Vκ。

儘管如此，每個及物動詞模型M的ZFC提供了一個集合理論論壇，在這個論壇中，人們可以看到幾乎所有正在進行的經典數學。在這個意義上，普通集理論結構無法訪問或無法訪問此類模型。因此，存在一個ZFC可以被視為一個大的基數公理：它表達了一個大的概念，這種模型的存在在ZFC並具有嚴格超越的一致性強度ZFCZFC。

最小及物模型ZFC

如果有任何及物模型M的ZFC，那麼LM，計算在M，也是ZFC事實上，有表格Lη，哪裏η=ht(M)η=ht(M)是高度M。最小及物模型ZFC是模型Lη，哪裏η最小，以至於這是一個模型ZFC。剛才給出的論點表明，最小及物模型是所有其他及物模型的子集ZFC。

它的高度比最不穩定的序數要小，儘管ZFC中可以證明存在穩定序數，而傳遞模型的存在則不然。

ω-模型ZFC

安ω-模型ZFC是ZFC其自然數的集合與實際自然數同構。換句話說，一個ω-模型是一個沒有非標準自然數的模型，儘管它可能有非標準序數。（更一般地說，對於任何序號α，一個α-模型至少有基礎良好的部件α。）每個及物模型ZFC是一個ω-模型，但后一個概念嚴格來說更弱。

一致性層次結構

存在一個ωω-模型ZFCZFC並暗示Con(ZFC)Con(ZFC)當然，還有Con(ZFC+Con(ZFC))Con(ZFC+Con(ZFC))以及大部分疊代一致性層次結構。這只是因為如果MZFCMZFC並有標準的自然數，然後M同意Con(ZFC)Con(ZFC)堅持，因為它的證據與我們在環境背景下的證據相同。因此，我們認為M滿足ZFC+Con(ZFC)ZFC+Con(ZFC)因此，我們相信Con(ZFC+Con(ZFC))Con(ZFC+Con(ZFC))。接下來M同意這種一致性主張，所以我們現在相信Con3(ZFC)Con3(ZFC)。模型M因此同意，所以我們相信Con4(ZFC)Con4(ZFC)等等，只要我們能夠以一種M正確解釋它們。

每個有限的碎片ZFC由於反射定理，允許許多傳遞模型。

及過渡模型和強迫

歷史上，集合理論的可數傳遞模型被用作將強迫形式化的便捷方式。這種模型M使強迫理論變得方便，因為人們可以很容易地證明，對於每個部分訂單英寸M，有一個M-通用過濾器GGP，只需列舉英寸M按可數順序Dn∣n<ωDn∣n<ω，並構建降序p0≥p1≥p2≥p0≥p1≥p2≥，與pn∈Dnpn∈Dn。過濾器GG序列生成的是M通用。

為了證明一致性，這種形式化效果很好。顯示Con(ZFC)→Con(ZFC+φ)Con(ZFC)→Con(ZFC+φ)，修復了一個有限的片段ZFC並使用合適的大碎片的可數傳遞模型，產生φ在強制擴展中包含所需的碎片。

及物模型宇宙公理

及物模型宇宙公理是斷言每組都是ZFC。這個公理比費弗曼理論提出了更強有力的主張，因為它被斷言為單一的一階主張，但比宇宙公理更弱，宇宙公理斷言宇宙有形式Vκ對於無法接觸到的cardinalκκ。

傳遞模型宇宙公理有時在背景理論中研究，而不是ZFC，但對於ZFC-P，省略了冪集公理，以及斷言每個集都是可數的公理。這種事業相當於採用后一種理論，不是作為數學的基本公理，而是作為研究多元宇宙視角的背景元理論，調查各種實際集理論宇宙、完整的及物模型ZFC，彼此相關。

每個型號ZFC包含一個模型ZFC作為一個元素

每個模型M的ZFC有一個元素N，它認為這是集合理論語言中的一階結構，是集合理論的模型ZFC，從外部看M。這在以下情況下是顯而易見的M是一個ω-模型ZFC，因為在這種情況下M同意ZFCZFC是一致的，因此可以構建一個亨金模型ZFC。在其餘情況下，M有非標準自然數。通過反射定理應用於M，我們知道Σn碎片ZFC在表單模型中是正確的VMβVβM，對於每個標準自然數n。自從M無法確定其標準切割，因此必須有一些非標準切割nn為了哪個M認為一些VMβVβM滿足（非標準）Σn碎片ZFC。自從n是非標準，這包括完整的標準理論ZFC，根據需要。

前一段中提到的事實偶爾會被一些初創理論家發現令人驚訝，也許是因為這個結論天真地似乎與這樣一個事實相矛盾，即可能存在模型ZFC+Con(ZFC)ZFC+Con(ZFC)。然而，通過意識到儘管模型N裏面M實際上是一個完整的模型ZFC，模型M無需同意這是ZFC，如果M具有非標準自然數，因此非標準長度公理ZFC。

數不清的及物模型

回想一下，Lwenheim-Skolem定理和Mostowski崩潰引理表明，如果ZFC有一個傳遞模型（或其他集合理論），那麼就有一個可數的此類模型。這意味着LL每個不可數的傳遞模型都是ZFC+的模型V=LV=L+“ZFC+有一個可數的傳遞模型V=LV=L?這個理論中有一些可數的傳遞模型，它們必須比最小模型具有更高的高度。同樣，也有理論的傳遞模型，斷言不同高度的可數可數傳遞模型，直到ω1ω1（其意義取決於模型：一般來說ωM11≠ωM21ω1M1≠ω1M2）。此外，還有及物理論模型斷言“有ααZFC+的可數傳遞模型“有ω1不同高度的ZFC可數傳遞模型?不同高度?等。因此，如果有一個不可數的傳遞模型，那麼“真的很多”（在“等”建議的非正式含義中）可數傳遞模型，它們在ω1ω1（否則他們不可能有ω1ω1不同的高度）。

假設在VV我們有一個基數高度的及物模型κκ。我們可以把每個數不清的繼任者變成紅衣主教λ+≤κλ+≤κ進入ω1ω1通過強迫（在V[G]V[G]）。在V[G]V[G]，及物模型不受限制ωV[G]1ω1V[G]（=(λ+)V≤κ=(λ+)V≤κ）。傳遞模型的可構造宇宙（Lht(M)Lht(M)）是ZFC+的型號V=LV=L它是L哪個很常見V和V[G]V[G]。所以ZFC+的型號V=LV=L無限(λ+)V(λ+)V英寸V。他們中的一些人具有高度的基數λλ他們“很多”。因此，如果有基數高度的傳遞模型κκ，然後有“非常多”所有基數高度的及物模型λ<κλ<κ。

特別是，ZFC模型（和ZFC+“ZFC模型是無界的”等）在Vκ為了世俗κ，就像在Vκ無法訪問κ有世俗、世俗、超世俗等cardinal。

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