第一百六十三章 陸兮同學，去中大旁聽嗎？
微分幾何是三年級的課程。
不過對於老傅來說，提前一些時間學點微分幾何而已，算不了什麼。
當年他才讀大一就雄心勃勃一個人去挑戰代數幾何。
只是後來發生了一點變故，讓他的數學大業中道崩殂。
長那麼丑，學人家搞代數幾何，真下頭！
自己是因為這句話才出師不利身先死的嗎？
好吧，當初的自己的確很不成熟。
內心深處或許並不是因為真的對代數幾何這些數學內容本身感興趣，純粹只是聽說只有搞代數幾何的，才配站在純數鄙視鏈頂端。
然後看了點交換代數代數簇，知道了點類域論導出範疇就到處夸夸其談。
在別人聽說自己在學代數幾何后，眼神中流露出欽佩的讚美時，享受那一種所謂的智商上的優越感。
也因為並不是真的喜歡，於是被諷刺了幾句就逃到了遊戲裏面，不敢面對，最後連學位證書都沒有拿到。
如果真的是初學者的話，我唯一的建議是，花四年時間把本科數學課程按部就班學一遍再說。
不過話說回來，這位陸兮同學貌似才高一。
高一就進軍微分幾何，比自己大一嘗試代數幾何還要超前得多
偏偏他幾個問題問下來，陸兮同學的回答都是那麼的流利精準，毫無破綻。
比如她提到“流形”時，他幾乎能感受到她在講述這一概念時的成熟感。
這並不像一個僅僅知道定義和公式的學生，而更像是一個已經深入了解這些內容，甚至有過數學研究經驗的人。
完全不是那種為了顯得自己很牛逼，故弄玄虛的二流子。
可這位陸兮同學才讀高一啊。
一個完全沒有接受過任何專業訓練的素人。
那就只能這樣了。
習題集，去吧。
老傅面對勇猛精進的陸兮同學的，排出了三道大題。
他要驗一驗陸兮同學的成色，是不是如她所展現出來的那樣無懈可擊。
第一道題：“設M是一個2-維流形，證明流形上的切空間與法向量空間的關係。”
第二道題：“在黎曼流形上，給定一個光滑向量場X，定義X的散度並證明其與測地線的性質之間的關係。”
第三道題：“給定一個n-維流形M，在其上給定一個黎曼度量g。證明度量g可以被唯一擴展到整個M上，使得在每一個局部坐標系下都滿足度量條件。”
他後來沒拿到學位證書，被已經佝僂了腰的父親領回去，他才幡然醒悟。
一個人宅在家裏，將大學的課程系統性地自學了很長一段時間。
這些題都曾在他的自學筆記里裏面。
他如數家珍，爛熟於心。
比如第一道的考核，要求對微分流形的基本概念，如切空間和法向量空間有很好的理解。
屬於入門級別的問題。
但如果僅僅剛接觸到流形的概念，還是有一定難度的。
因為這道題的解法涉及多個抽象概念的綜合運用。
第二道就開始真正現出難度了。
首先，理解黎曼流形上向量場散度的定義就需要一定的基礎。它涉及到黎曼度量、局部坐標系下的張量運算以及行列式的知識。
要熟練掌握在局部坐標系下對向量場的表示，並且理解散度定義式中每一項的含義，更需要對黎曼幾何中的度量張量及其行列式有深入的理解。
到這裏，才僅僅只是理解概念的第一步。
第二步，建立散度與測地線性質之間的關係才是真正有挑戰性的東西。
這需要熟悉測地線的定義，並且能夠將向量場與測地線周圍的幾何變化聯繫起來。
理解由向量場生成的單參數微分同胚群對體積的影響，並通過李導數的性質來推導與測地線周圍管狀鄰域體積變化的關係。
這涉及到較為抽象的幾何和分析概念。
最後，證明的過程，要將抽象的數學概念和計算與幾何直觀相結合，需要對黎曼幾何、張量分析以及微分方程等多個領域的知識進行綜合運用。
至於第三道，要求理解黎曼度量的本質，如何通過局部坐標系來討論度量的延拓性和唯一性。
僅僅只是證明思路的構建就很複雜。
因為利用局部坐標的相容性和單位分解來證明度量的可擴展性可不是直觀易想的方法。
需要理解在不同局部坐標系下度量的變換關係，而這種變換涉及到切向量的坐標變換以及度量係數的相應變化。
單位分解定理本身也是一個相對抽象的工具，理解如何利用單位分解將局部定義的黎曼度量拼接成在整個流形上定義的度量需要比較強的抽象思維能力。
並且在拼接過程中，要驗證拼接后的度量仍然滿足對稱性、雙線性和正定性這些度量的基本條件，這需要仔細地推導和驗證。
最後的證明過程細節也極多。
例如，在驗證局部度量的性質時，需要在局部坐標系下對切向量進行具體的運算，並且在證明度量的變換關係時，要正確地運用鏈式法則等知識進行坐標變換的推導。
小主，這個章節後面還有哦，請點擊下一頁繼續閱讀，後面更精彩！
在利用單位分解拼接度量后，再次驗證拼接后的度量滿足度量條件的過程也比較繁瑣，需要對每一個性質進行細緻的分析和推導，同時還要證明這種擴展方式的唯一性。
……
老傅的腦海里電光火石一般，將爛熟於心的三道題完整過了一遍后，開始用搞惡作劇的眼神審視陸兮訴諸筆端下的東西。
先寫下切空間的定義，嗯，應有之義。
用符號描述如何從流形的切空間到法向量空間的轉化？
解決了？
這麼簡潔的嗎？
老傅一愣。
分神了那麼幾秒鐘，又急急忙忙去看陸兮的第二道的答案。
又是黎曼流形上的定義的開端，然後用散度的公式推導出了結果。
老傅的眼神一下子亮了起來。
因為他看到陸兮展示的流形中不同坐標系下的變化和測地線的關係，竟然能準確指出散度公式背後的幾何意義。
老傅暗暗稱奇的時候，陸兮已經做到了第三題。
沒想到這道涉及了黎曼度量的延拓性的題目，陸兮的解答不僅完美地還原了經典的證明框架，還在每一環節中都給出了清晰嚴謹的推導。
尤其是黎曼度量的唯一性證明部分，充分顯示了她對數學抽象的深刻理解。
這，這，這……
良久，老傅忽然來了這麼一句：“陸兮同學，有沒有興趣去中大旁聽一段時間？”
對了，老傅宅家自學了一段時間，企圖證明沒有學校的幫助，他也能證明自己很牛逼。
結果走投無路，甚至一度考慮重新參加高考，最後在一位真正牛逼的同學的介紹下，連學位證書都沒有的他，來到了華附。
而那位真正牛逼的同學後來去了中大當教授。