291.第291章 黎曼猜想報告會（三）
第291章黎曼猜想報告會（三）
“……總而言之，正是在遊樂園中所觀摩到的那些幾何軌跡，帶給了我一定的啟發。”
“幾何，天然存在於我們的世界當中，而數學，既然本身就被譽為宇宙的語言，那麼通過這些東西來帶給我們啟發，或許也會是一個不錯的方式。”
蕭易微微一笑：“這就算是我給大家帶來的一個小小建議吧。”
在場的很多數學家頓時都紛紛點了點頭，表示了認可。
雖然吧，這種方法對於他們來說聽起來還是有點太過神奇了，不過倒是也並不妨礙他們向蕭易學習。
現在只要是蕭易推薦的方法，那麼他們都願意去嘗試一下，說不定就適合自己了呢。
“那麼，我是如何聯想到可以從高維的情況來發展模曲線的過程已經和你們說明了，接下來，我們就繼續討論一下，我又是如何最終推導出廣義模曲線的。”
“最開始的時候，我曾經嘗試過模曲線，但很容易就能發現的是，雖然模曲線提供了一個研究擴展L-函數的幾何框架，但它並不能完全解釋擴展L-函數的所有特性，特別是對於某些類型的擴展L-函數，它們的特殊值似乎與模曲線的幾何不太吻合。”
“而後，這就要感謝我對理論物理的研究，給我帶來了一定的啟發。”
“我們都知道，在物理學中，使用一些高維的幾何空間來研究一些物理現象，比如說Calabi-Yau流形這樣的，因此這就給予了我一定啟發。”
“所以，對於這個高維下的模曲線，它就應該包含通常的模曲線作為一種獨立的情況，但同時也應該包含更多的信息，以刻畫那些通常之外的擴展L-函數。”
“那麼現在我們就可以簡單地給出定義。”
“對於一個n維的廣義模曲線，我們將它記為X_f^(n)，是一個n維的複流形，它參數化了一類特殊的n維阿貝爾簇，這些阿貝爾簇具有一些模性質，類似於通常的橢圓曲線。”
“然後，接着我們就需要用到一些特殊的工具來對其進行處理。”
“於是我就聯想到了Shimura簇和Siegel模形式。”
“對於一個n維的Siegel模形式f，我們定義一個Shimura簇Sh_f，它參數化了所有具有f所描述的模性質的n維阿貝爾簇。”
“通過這種途徑，我們就可以去證明存在一個自然同構。”
【X_f^(n)Sh_f】
……
蕭易開始在黑板上演示，他是如何證明這個自然同構的。
只不過，對於場下的大多數數學家們來說，他們就實在看不懂了。
這些東西，蕭易又是怎麼能夠想到的？他是怎麼想到要用Shimura簇和Siegel模形式的？
又是如何做到如此精準地給出相關構造和定義的？這是人能夠做到的嗎？他們都陷入了一種迷茫之中。
對於數學來說，找到能夠用來解決問題的工具只是第一步，如何使用這些工具，才是第二步。
有的時候，就算是他們找到了工具，也不見得就能夠用這個工具成功地解決問題，主要就是因為，他們在使用的過程中，仍然沒有找到能夠將這個工具很好地嵌入問題的“鑰匙孔”里，所以，問題仍然是問題，工具也仍然擺在那裏。
這種情況，在數學界中出現的也是相當之多了。
就像是曾經的安德魯·懷爾斯，第一次證明費馬大定理的時候，被其他的數學家們發現了他的證明中存在的關鍵錯誤，以至於他差點就要承認自己失敗了。
但直到最後，他才從現有的其他數學工具中，找到了解決問題的出路，最終成功完成了論文的證明。
再比如說證明了龐加萊猜想的佩雷爾曼，他在證明中主要使用的是一個名為ricci流的數學工具，而自從這個數學工具誕生之後，數學界就已經看出了這個工具在證明龐加萊猜想中可能帶來的巨大作用，但仍然有很長一段時間，數學家們都沒能成功地完成證明。
直到後來，佩雷爾曼才找到了將ricci流嵌入龐加萊猜想的“鑰匙孔”中的方法，並在最終完成了證明。
所以，找到工具只是第一步，如何應用工具，同樣也是十分關鍵的一步。
而現在，蕭易就展現出了彷彿開了天眼般的能力，不僅能夠發現廣義模曲線這樣的新工具，又能夠順勢找到將廣義模曲線嵌入進“鑰匙孔”的輔助工具，Shimura簇和Siegel模形式這兩個。
這真沒開？
“偶買噶的……買噶的……噶的……”
底下，眾多的數學家們都驚嘆地看着蕭易演示出來的步驟，心中除了震驚，還是震驚。
“是吧，誰說他不是上帝呢？”
德利涅感慨地搖搖頭，說道。
“我都從來沒有想到過，從韋伊猜想延伸出去的內容，還能夠進行這樣的拓展。”
旁邊的邦別里攤手道：“你只不過是證明了韋伊猜想而已，又懂什麼韋伊猜想呢？”
德利涅聳聳肩膀，說道：“是的，我完全贊同你的說法。”
另外一邊，陶哲軒也表示了自己心中的驚嘆。
“他真的是連試錯都沒有試錯，然後就直接得出了這樣的結果嗎？我我實在是有點不敢相信……”
而一旁的費弗曼則是搖搖頭，說道：“就算是他真的在這上面有過錯誤的嘗試，但是……你又覺得他在這些錯誤上面停留過多長時間呢？我感覺說不定一個月都沒有。”
“說的也是……”陶哲軒嘆道。
如果是換做他們來進行這一步的話，天知道到時候得試錯多久。
如果他們沒有看到這篇論文，僅僅只是了解到廣義模曲線的定義，並且知道還需要用到Shimura簇和Siegel模形式這兩個方法，運氣好的話，他們可能一個月就能夠完成這一步，但是運氣不好的話，那可能就得好幾個月，乃至是一年。
雖然他們並不認為以他們的能力，超過一年的時間都還找不到最終的答案，但這種可能性也絕不對不是零，相反的，這個可能性甚至還有點高……
以前的時候，他們或許會將這一點更多地歸功於運氣，然後再稍微加上一點數學家獨有的直覺。
但是現在聽着蕭易的講述，他們開始對這一點產生了懷疑。
真的是這樣嗎？
難道這種試錯的過程，其實也可以單憑數學能力直接破解？但這樣問題，他們顯然是得不到回答了，畢竟他們不是蕭易，自然也就體會不到蕭易在遇到這類問題時的體驗是怎樣的。
……
對於台下這些數學界們此時心中都在想什麼，蕭易並不清楚。
如果他們問蕭易的話，蕭易大概還會對他們詢問這個問題感到些許困惑。
畢竟他是真的全靠數學直覺就行了，因此他也不會理解他們為什麼會產生這樣的問題。
這樣的情況，一般被稱之為「知識的詛咒」。
簡單來說，就是將某些知識當做常識的人，會覺得其他不懂這個知識的人十分愚蠢，常見情況就像是在大人輔導小孩子做家庭作業的時候，會因為小孩子對某個在大人看來十分簡單的問題卻始終無法搞懂的時候，而感到十分迷惑，甚至會因此而覺得小孩非常的愚蠢。
而現在，這些頂級的數學家就像是小孩子，而蕭易則是大人，後者能夠憑藉自己的數學直覺，直接省去大量的試錯時間，而前者們則很難理解究竟是怎樣的數學直覺才能夠幫助蕭易那樣精確地找到答案。
當然，眼下的蕭易並不清楚他們的問題所在，也在繼續講述着他的證明。
“……於是我們就能夠得到這樣的一個定理——”
“設E是一個n維阿貝爾簇，f是一個n維Siegel模形式，如果E的模性質由f描述，那麼E的擴展L-函數L(s，E，)等於廣義模曲線X_f^(n)的Zeta函數ζ(X_f^(n)，s)。”
“這個定理大大擴展了之前關於橢圓曲線和模曲線的結果，它表明，廣義模曲線提供了一個自然的幾何框架，可以統一地處理各種維數的阿貝爾簇和它們的擴展L-函數。”
“至此，我們也就能夠完整地研究所有類型的擴展L-函數了。”
“通過將每個擴展L-函數與一個廣義模曲線聯繫起來，我們可以使用廣義模曲線的幾何性質，如維數、Betti數、Hodge結構等，來刻畫擴展L-函數的特性……”
“自然，接下來我們就能夠向著阿廷猜想的最終步驟前進。”
講到這裏，蕭易頓了頓，然後看了看時間，隨後便笑着說道：“好了，現在時間已經來到了十二點，那麼按照之前的安排，現在是午飯時間，在隔壁的酒店，已經為各位準備好豐盛的餐品，歡迎大家前去品嘗。”
正期待着蕭易講述之後該如何證明阿廷猜想的眾人，頓時就是一陣哀嚎。
儘管在黎曼猜想被證明的情況下，阿廷猜想已經顯得不是那麼重要了，但這只是相對的，人們依然對於蕭易能夠同時將阿廷猜想也給證明了的這點感到無比的震驚。所以現在這種情況，簡直就像是寸止了一樣。
唯一感謝蕭易能夠這麼準時就“下班”的，大概也就只有那些正在挑戰膀胱極限但是又捨不得離開的觀眾了。
看着蕭易頭也不回就進入了後台的身影，眾多的觀眾們也只能放棄挽回。
“好吧，看來只能等到兩個小時后了。”
邱成桐無奈地說道。
費弗曼倒是笑呵呵地站起了身：“沒事兒，正好華國的茶歇，我也已經期待很久了，我仍然還沒有忘記上次來這裏吃的東西。”
他拍了拍邱成桐：“邱，這次又要麻煩你替我介紹介紹美食了。”
丘成桐笑道：“當然沒問題。”
……
隨後，在場的觀眾們就在工作人員的招呼下，離開了這裏，然後前往了隔壁酒店享受午餐。
當然，他們也絲毫沒有忘記，再過兩個小時，就要繼續回來，聽蕭易講述接下來的證明流程。
至於這頓午餐的過程中，他們也完全沒有閑着，就剛才蕭易所講述的那些內容討論着，交流着各自的啟發和收穫，就連原本還打算好好享受一下華國特色美食的費弗曼，也放棄了這些美食，轉而加入到了他們的討論之中。
反正等到下午講完之後，還可以重新回到這裏，到時候就是想吃多久就吃多久。
就這樣，在各種交流之中，他們越發感慨蕭易證明思路之絕妙，證明方式之精彩，同時也更加期待起了報告會的下半場。
很快，14點之前，所有觀眾們再一次回到了現場。
甚至排隊進場的過程中，每個人都完全遵守着秩序，沒有出現任何意外的情況，因為每個人都不想因為這種事情而導致14點開始的報告被推遲。
直到14點到的時候，黎曼猜想報告會的下半場，也得以準時開始。
蕭易再一次邁入了場內，站在了主席台上面，看着場下的眾多觀眾們，他微微一笑，說道：“那麼，接下來我們的報告繼續。”
“現在，正式開始對阿廷猜想的證明。”
接下來要進行的，就是一連串複雜的證明過程了。
關鍵的工具都已經掌握，接下來要做的就是，將所有的這些工具，真正運用到證明的過程當中。
這中間，就是差不多幾十頁的論文內容。
當然，蕭易將這些過程都進行了省略，大概就相當於數學家們常用的“顯而易見”、“注意到”、“易得”等等之類的用詞。
不過，在場的數學家們倒是完全可以理解，畢竟蕭易總不可能還要在這裏給他們將整個證明過程全部寫上一遍，那可是總共四百多頁的論文內容。
因此能夠省略的也就直接省略了，保留關鍵步驟就行了。
就這樣，一直到了阿廷猜想證明的最後。
“到這裏，我們就能夠做出最終判斷。”
“設f是一個n維Siegel模形式，X_f^(n)是相應的廣義模曲線，那麼也就存在一個自然的Galois表示——”
【ρ_f:Gal(Q/Q)→GL_n(Z_)】
“這個Galois表示就使得對於任意素數p，Frobenius元Frob_p在ρ_f下的特徵多項式等於X_f^(n)在p處的Zeta函數ζ(X_f^(n)，T)。”
“如此一來，我們就成功建立了廣義模曲線的幾何性質與Galois表示的算術性質之間的聯繫。”
“有了這個結果，我們就能夠成功地將阿廷猜想轉化為關於Galois表示的一個問題。”
“具體來說，我們就完成了這樣的一個結果。”
“設E是一個橢圓曲線，L(s，E)是它的Hasse-WeilL-函數，那麼有以下兩個條件等價。”
“第一，L(s，E)是整個複平面上的全純函數，並滿足一個函數方程；第二，存在一個模形式f，使得E的Galois表示ρ_E與ρ_f同構。”
“……最終，我們就可以開始嘗試將每個橢圓曲線嵌入到一個廣義模曲線中。”
“現在，我們知道ρ_X來自一個Siegel模形式f，即ρ_Xρ_f，結合這兩個結果，就有——”
【ρ_Eρ_Xi_*ρ_fi_*。】
“這表明ρ_E也來自一個模形式，即f的“拉回“。”
“而這，也就意味着L(s，E)是整的並滿足函數方程，綜上所述，我們成功證明了阿廷猜想。”
蕭易轉過身，面對着在場觀眾們，微笑着說道。
在場的眾人頓時都驚嘆出聲。
阿廷猜想！
這個原本再他們看來，同樣無比困難的問題，也就這樣解決了，甚至還成為了黎曼猜想證明的“序言”。
此時此刻，他們已經是不知道第多少次因為蕭易的這些證明過程而感到震撼了。
精妙、完美，幾乎找不到漏洞……
“還有這個廣義模曲線……”
舒爾茨口中喃喃着。
他就是研究算術幾何的。
當年他搞出來的狀似完備空間，也可以稱得上是算術幾何中的一個重要突破，能夠被運用於多種問題的研究當中，特別是在代數幾何和朗蘭茲綱領領域當中。
而現在，蕭易搞出來的這個廣義模曲線，則更是從另外一種層面上，對算術幾何進行了一次更為強大的拓展，是真正的將代數幾何同數論之間的方法進行了一次無比緊密的結合，對於整個數學界來說，這都稱得上是一次偉大的革新。
先不提未來，這個廣義模曲線可能為數學中其他問題的解決帶來多麼巨大的幫助，就說現在，僅僅只是蕭易思考出這個廣義模曲線的過程，其中邏輯、分析等等，或許都能夠給他們這些數學家們帶來一些啟發，讓他們思考現有的其他一些理論，是否也能夠像是模曲線這樣，通過這樣方法進行擴展等等。
這就是廣義模曲線另一方面更加重要的意義，也是他們對於廣義模曲線如此期待的重要原因所在。
現在，看完了蕭易是如何思考出廣義模曲線，並且將其運用於解決問題上的整個過程，現在，他們多少也算得上是稍微有點悟了。
“現在，我已經想好了下一篇論文該寫什麼了。”
“我也已經想好了，希望你想到的和我不要重樣。”
“我想的是模空間理論，你呢？”
“damn！……哈哈，逗你的，我和你不一樣，我想的是蕭易剛才提到過的Shimura簇，我覺得，或許Shimura簇也能夠進行更進一步的發展。”
“很不錯，我剛才也產生過這樣的想法，但最終我還是想要選擇模空間理論，我覺得這裏面會有更過值得深挖的東西。”
“那就祝你好運了。”
“也祝你好運。”
“……”
下面的數學家們顯得有些興高采烈。
而台上的蕭易，也已經開始了他報告的最後一部分。
也就是直指黎曼猜想的最終證明。
(本章完)