283.第283章 黎曼定理和蕭氏猜想

第283章黎曼定理和蕭氏猜想

【定理7.3：設f是一個n維Siegel模形式，X_f^(n)是相應的廣義模曲線。那麼存在一個自然的Galois表示:ρ_f:Gal(Q/Q)→GL_n(Z_)，使得對於任意素數p，Frobenius元Frob_p在ρ_f下的特徵多項式等於X_f^(n)在p處的Zeta函數ζ(X_f^(n)，T)……】

蕭易的辦公室中，他正在草稿紙上面寫下關於阿廷猜想證明的最後幾步。

“嗯，這個定理就成功建立了廣義模曲線的幾何性質與Galois表示的算術性質之間的聯繫。”

“有了這個結果，我總算是可以將阿廷猜想轉化為關於Galois表示的一個問題了。”

“那麼，這個Galois表示下的阿廷猜想就是……”

【定理7.4：設E是一個橢圓曲線，L(s，E)是它的Hasse-WeilL-函數。那麼以下兩個條件等價:(1)L(s，E)是整個複平面上的全純函數，並滿足一個函數方程；(2)存在一個模形式f，使得E的Galois表示ρ_E與ρ_f同構。】

蕭易的嘴角微微一翹，就彷彿一切盡在他的掌握之中。

到了這一步，他就成功地將阿廷猜想轉化為了另外一種形式下的問題。

絕大多數的猜想證明，也基本上都不外如是。

數學家們所需要證明的最終形式，往往都和原來的問題陳述大相逕庭，但是，通過對各種數學關係之間的抽絲剝繭，就能夠在這個最終形式和猜想本身的描述之間，劃上代表了等價關係的符號。

至於問題原來本身的描述，更多也都是為了方便人們的理解。

就比如其他的各種問題，像是冰雹猜想這樣，它的描述看起來十分的簡單，但是最終證明出來的形式，就並不是本身的那樣，而是一個相當複雜的式子。

包括像是安德魯·懷爾斯所證明的費馬大定理，最終的形式也是截然不同的。

因此，隨着蕭易現在將阿廷猜想進行了轉變之後，他只需要證明每個橢圓曲線的Galois表示都來自一個模形式就行了。

“那麼，定理7.5，對於任意的橢圓曲線E，存在一個廣義模曲線X和一個閉嵌入i:E→X，使得i誘導了Galois表示之間的同構:ρ_Eρ_Xi_*。”

這個定理7.5，就是他最後一個需要完成證明的問題了。

同樣的，在這裏也並沒有對他造成任何困難，僅僅只是略微思索了一下，然後，他就徹底完成了自己的結果。

“那麼，由定理7.3，我們知道ρ_X來自一個Siegel模形式f，即ρ_Xρ_f。”

“結合這兩個結果，我們就有：ρ_Eρ_Xi_*ρ_fi_*。”

“這表明ρ_E也來自一個模形式，即f的“拉回“。”

“由定理7.4，這意味着L(s，E)是整的並滿足函數方程。”

“綜上所述，阿廷猜想是成立的。”

【證畢。】

在草稿紙上寫下了這最後的兩個字，蕭易也微微一笑。

歷經了如今之久的時間，終於，這個阿廷猜想被他成功破解了。

如此一來，他也算是距離黎曼猜想，真正地又近了一步。

不過，在此之前，他還需要根據他現在的結果，導出阿廷猜想的結果中，那個讓每個有限維復表示ρ和它們的L-函數相等的自守表示π，到底是什麼樣子的。

只有得到了這個式子，他才能夠藉此開始嘗試證明黎曼猜想。

很快，他就成功地將這個全新的自守表示π給推導了出來。

“於是，我們就得到了一個函數方程。”

【L(ρ_X，s)=ε(ρ_X，s)L(ρ_X^∨，k-s)】

蕭易開始觀察這個方程。

這就是阿廷猜想最重要的結果。

就是這個函數方程，使得阿廷猜想所預言的：每個有限維復表示ρ:Gal(K/k)→GL(n，C)都應該對應於一個自守表示π，使得它們的L-函數相等:L(s，ρ)=L(s，π)，成立了。

通過這個結果，甚至也完全能夠去研究函子性猜想了。

當然，現在蕭易的研究重點也並不是函子性猜想。

現在，他要看的是，要如何將這個式子，和黎曼猜想聯繫上。

很快，他就是微微一笑，手中的筆也再次動了起來。

既然都已經到這一步了，阿廷猜想也都已然被他所證明，接下來的難度，已經不能再將他難到哪裏呢。

儘管接下來仍然要處理相當複雜的一系列推導，或許也需要很長的時間，不過可以肯定的是，對於他來說，已然不再困難。

……

時間再度飛轉而去。

大概一個月過去了。

這一個月的時間，世界仍然是該怎麼樣就怎麼樣，沒有發生任何的變化。

當然，對於華國來說，大概比較重要的就是，又建成了幾座核聚變發電站，並且都已經投入運行了。

隨着初期時間的過去，接下來，也確實是迎來核聚變發電站下餃子的時間段了。

那些核心經濟區，基本上都已經用上了來自核聚變的電，連帶着讓大A都迎來了一次盛大的牛市，幾乎是從今年開年之後，這個牛市就沒有停下來過。

一開始的時候，股民們都還有點不相信，畢竟回想起上一次的牛市，還是在2024年的時候，那旺盛了幾天的牛市，隨後就給瘋狂的股民們造成了狠狠地一次重擊。

只不過，當這一次的牛市連續漲了一個周后，他們就開始將信將疑了，而連續漲了半個月後，他們就不得不嘗試性地往裏面開始投入了。

直到連續漲一個月之後，終於，股民們又一次陷入了瘋狂之中。

而到現在，股市也仍然還在上漲着，幾乎都沒有停下來過。

大盤都已經來到了史無前例的9500，早就已經超過了當年在2007年創下的6124點二分之一還多，距離突破10000都已經是指日可待。

這主要也是因為，核聚變能源讓眾多公司的經營成本全部都下調了不少，特別是對於那些實業公司來說，更是如此，要知道的是，華國的實業公司本身就是最多，華國向來也重視實業經濟的發展，從來都沒有像是西方那些國家那樣，大力發展金融經濟，而忽視了實業經濟的發展，特別是在工業上面。

華國的工業，可謂是核聚變實現之後的最大受益者。

至於質數先鋒計劃的數學家們，則仍然頭痛於，他們到底要選擇什麼方向，針對這個問題，他們在一開始甚至還產生了不少的分歧，而這些分歧，也讓他們作出決定，先分成幾個隊伍，各自從不同的方向進行研究，然後再定期交流成果，接着又根據這些成果，來判斷哪個方向更加有機會。

基於這種方式下，他們也算是取得了一些成果。

比如那些想要繼續發展臨界線定理的數學家們，繼續根據臨界線定理往下研究，如今也成功拿出了一個比當初蕭易給出的62.5%更高的數字，66.67%，也就是差不多三分之二。

但是，同樣的道理，三分之二，距離最終的答案，看上去已經十分接近了，但實則不然，仍然有着猶如天塹般的距離。

甚至他們現在的成果，都只能說是繼續在當初蕭易的那個成果基礎上發展出來的，並不能說取得非常值得慶賀的成果。

至於其他方向的數學家們，也或多或少地都得到了一定的突破，只是這些突破，都不能稱得上多少，如果要發論文的話，恐怕都不一定夠得上一區——大概或許憑藉他們一眾大佬的名氣，編輯們看在他們面子上面，或許也會同意將他們的這些論文發在一區上面。

不過，對於這些數學界的大牛們，他們基本上也丟不起這個臉，所以最後就創建了一個網站，就叫做質數先鋒計劃，然後將他們的這些成果都直接公佈在這個網站上面，讓人們能夠看見他們都已經做到哪裏了。當然，也正因為此，所以也使得那些媒體們整天都在說，蕭易沒有像他們一樣，將自己的研究進展公佈出來，以此來嘲諷蕭易沒有任何進展，或者說他因為擔心自己失敗，所以就不公佈自己的研究成果，然後不斷地拾人牙慧。

雖然他們的這些嘲諷，蕭易基本上都沒有看到過，就算是看到了，也都沒有在意過。

就這樣，時間來到了7月15日這一天的凌晨。

……

【對於任意的CM橢圓曲線E，存在一個廣義模曲線X和一個嵌入i:E→X，使得i誘導了Hecke特徵之間的同構:λ_Eλ_Xi_*，其中λ_X是X的Hecke特徵，i_*是由i誘導的Galois群之間的同態。】

【因此，代入定理8.9和定理9.1，我們可以確定，L(s，E)的所有零點都位於直線Re(s)=1/2上。】

【所以，ζ(s)的所有非平凡零點也位於直線Re(s)=1/2上。】

【綜上所述，黎曼猜想，成立。】

最終的證明，完畢。

蕭易手中的筆，也在此刻停止在了最後的句號上的停筆處，久久沒有離去，彷彿凝結了時間的流逝。

黎曼猜想。

黎曼猜想。

黎曼猜想。

黎曼定理！

……

任何著名的數學猜想，都擁有着不同的歷史。

但是沒有任何猜想，會像是黎曼猜想這樣，擁有着如此非凡的地位。

而在此時此刻，歷史與現在發生了交匯，過去無數的數學家為之奮鬥，為之付出，為之傾盡畢生心血的問題，就這樣在他的筆下，迎來了終結。

腦海中彷彿掠過了無數的畫面。

波恩哈德·黎曼在自己的辦公室中，為了表示自己對成為柏林科學院院士這一崇高榮譽的回報，他寫下了那封名為《論小於給定數值的素數個數》，那時候的他，大概也沒有想到，自己這篇僅僅只有短短八頁的論文，就此成為了令幾乎數學家們都魂牽夢繞的黎曼猜想的起點。

他彷彿還看到，一代代的數學家們，為了這個問題，前赴後繼的思考、爭論和探索。

無論是幾千年前的歐幾里得，又或者是後來的歐拉、高斯、哈代……

一直到如今，塞爾伯格、邦別里、法爾廷斯、德利涅等等的數學家們。

這些名字，成為了通往這個問題答案的引路燈，一直到現在。

名為蕭易的年輕人，終於照亮了這通往真理的最後一盞燈。

手中的筆，終於不再矗立，被他輕輕地放在了一邊。

起身，然後伸了一個懶腰，走到了窗子邊上，拉開了窗帘。

清晨的光照射了進來。

昨天晚上，他可謂是一宿沒睡。

但總算，這個夜，沒有白熬。

“不過，buff等級，沒有升級啊……”

對此，蕭易也只能是無奈地搖搖頭，到了這種程度，buff等級也沒有那麼好升級了。

至於有沒有可能是因為他的證明是錯誤的，那就完全不可能了，他對自己的證明有着充足的信心。

所以，他大概還需要再解決一個差不多級別的問題，才能夠讓buff升級？

這個問題很快就在他的腦海中掠過，現在他已經不想再去想這些事情了。

舒展了一會兒身體后，他打了個哈欠，隨後又回到了自己的座位上，重新回顧了一下之前的各種證明過程。

本來只是慣例的察看，但這一次，他卻從這些證明過程發現了一個意外的點子。

“自守表示……L-函數……還有幾何上的某種‘自然’對象？”

“是不是……對於每一個自守表示ρ，我們都可以構造一個數論L-函數L(s，ρ)，以及一個幾何上的“自然“對象X(ρ)……”

他重新拿出了筆，然後在上面寫下了一個等式，口中也喃喃道：“使得它們都滿足這樣一個關係式。”

【L(s，ρ)=L(s，X(ρ))】

即，ρ的L-函數等於X(ρ)的某種“自然“的L-函數。

再度放下了筆，他抱住了自己的腦袋。

如果這是成立的，那麼就不得了了。

這意味着，他又在朗蘭茲綱領的基礎上，實現了一個大大的推廣。

朗蘭茲綱領預見到，每一個自守表示都應該對應於一個幾何上的對象，以及一個數論中的L-函數。

而這個關係式，則進一步預見到，這個幾何對象和L-函數之間應該有一個直接的等式關係。

而這樣的關係，對於數學來說，有着極其重要的意義。

它提供了一個新的統一的視角，將代數、幾何、分析三大數學分支聯繫在一起，從而能夠讓數學家們將代數中的問題轉化為幾何中的問題，或者是分析中的問題！

但是，這個等式真的有可能成立嗎？蕭易不知道。

因為這是一個嶄新的問題。

又需要一段漫長的證明過程。

但是現在的蕭易，已經不想再去思考太多了。

接下來的一個周，他只想給自己放個假。

黎曼猜想證明了這麼久，就不能享受享受嗎？當然可以。

“至於這個新的問題，那就……”

“命名為蕭氏猜想吧。”

嗯，他證明了阿廷猜想和黎曼猜想，現在就再還給數學界一個更加厲害的猜想。

……

(本章完)