第665章 困擾數學家25年的“切蘋果”難題
請聽題：如何將蘋果平均一分為二，還能保證它長時間的新鮮？
這是一個嚴肅的科學問題，已經困擾了人類數學家25年之久。
根據常識，就是要保證果肉暴露在外面的面積最小，也就是切片的面積最小。
如果跨越到更高的維度，是否依然成立？
這就是1995年，由三位數學家提出的一個幾何學猜想。
1984年，著名數學家讓·布爾甘提出了一個猜想。
一個任意維度的凸體，用低一維的平面去平分，那麼存在一個常數c，讓凸體至少存在一個切面的面積大於c。
換句話說，如果你一刀平分“任意維度空間的西瓜”，隨便你怎麼劈，總有一個切面總大於c。
在3維空間中，這個結論似乎很好理解，因為無論西瓜長成什麼奇形怪狀，總不可能在每個角度都細長。像長形的西瓜，豎直切下去，切面很小，可以你也可以水平切開平分它，這樣切面就會很大。
但在3維世界中正確的事情，到了高維空間卻不一定成立。這個問題後來被布爾甘自己證明，但數學家們並不滿足於用平面切西瓜，而是希望能找到一個更小的切面，它可以是曲面。而這恰好是1995年Kannan、Lovász和Simonovits三人提出的KLS猜想關心的問題：用來平分的最小曲面面積是多少？
以二維空間裏的一個三角形為例。這個最小的“曲面”是一段圓弧。用圓弧來平分一個三角形，中間的線長度最短，而最佳“平面”——直線——的效果略差。
如何用最小“切面”平分三角形。
到了更高維度的空間中，二等分的最佳平面和最佳曲面差距會變大嗎？切面的面積是否和維度d有關？
這個問題已經不再是純粹的數學問題。普林斯頓大學數學系教授AssafNaor表示，KLS猜想在純粹的數學和理論計算機科學中都很重要。KLS猜想的結果，直接關係到隨機行走算法的運行時間，如機器學習模型中採樣問題。·所以最後解決這個幾何問題的學者，都並非幾何學的專家，而是來自計算機界。
用統計方法解決問題
經過數學家的抽象，KLS猜想就像一個封裝着氣體的容器，找到最佳切面就是尋找容器的“瓶頸”。
想像一個啞鈴形狀的容器，裏面有一個氣體分子在隨機運動，啞鈴中間連接部分越細，分子就越難跑到另一側
現在人們想知道，在高維空間，這個凸的容器最細的地方有多細。
2012年，Eldan通過引入一種稱為隨機定位的技術，來降低這個問題與維度上界。
2015年末，華盛頓大學的Vempala和YinTatLee改進了Eldan的隨機定位，以進一步將KLS因子（用於描述瓶頸是否存在）降低到維度的四次根d1/4。
KLS猜想的上界不斷降低。
甚至，他們還將冪指數降低到幾乎為0，由於d的0次冪總是等於1，Lee和Vempala似乎證明了KLS因子是一個與維度無關的常數。
他們在arXiv上發佈了他們的論文。但是幾天後，這篇文章就被人發現了一個缺陷，他們關於d0的證明是錯的。之後，二人修改了文章，把界限重新調整到d1/4。幾年來，研究人員認為KLS猜想的探索已經到此終結了。
不過他們還在論文中，保留了d0證明的一些想法。這也為後來的突破埋下伏筆
他們的論文引起了另一位統計學者YuansiChen的注意。Chen當時是加州大學伯克利分校的統計學研究生，他正在研究隨機採樣方法的混合率。而隨機採樣是許多類型統計推斷中的關鍵，例如貝葉斯統計。
Chen深入研究文獻，花了數周時間試圖填補Lee和Vempala的證明中的空白，但依然沒有解決。於是他轉變了思路，在Lee和Vempala的思想指導下，他找到了一種方法，採用遞歸來降低KLS因子上界。
經過反覆疊代，這種方法將KLS猜想問題再次拉回到d0的上界。這一結果意味着，高維凸形物體不會有啞鈴那樣的結構。在n維凸體中隨機行走，遍歷整個圖形的速度比我們之前預想得要快得多。這將有助於計算機科學家對不同的隨機採樣算法進行優先級排序。
三個計算機相關的科學家
首先，直接與研究相關的這位統計學博士后——YuansiChen（陳遠思，音譯）。今年年初，他開始在杜克大學統計科學系擔任助理教授的職位。主要研究方向是統計機器學習、優化以及在神經科學中的應用，尤其對其中域適應性、穩定性、MCMC採樣算法、卷積神經網絡和計算神經科學中出現的統計問題感興趣。
而啟發YuansiChen數學靈感的，是兩位計算機科學家，YinTatLee和SantoshS.Vempala。
YinTatLee，的研究方向主要在算法方面，包括凸優化、凸幾何、譜圖理論和在線算法等廣泛的課題。
以往的研究里，他曾結合連續數學和離散數學的思想，大幅提升了在計算機科學和優化中許多基本問題的算法，比如線性編程和最大流量問題。
但他的方法很容易被驗證。早期研究過KLS猜想的以色列數學家BoázKlartag，就在第一時間看了論文。他表示：“我基本上立即停止了我正在做的一切事情，並檢查了這篇論文。這篇論文是100%正確的，這一點毫無疑問。”
這是一個非常重要的突破，加速了對近似凸體體積的研究。
。