第494章 41.冪塔

冪塔，何為冪塔？指數塔？不不不，這就需要涉及到集合論中的“冪集公理”了。

冪集公理：對於任意集合，其所有子集組成的集合被稱之為冪集，冪集的勢遠大於該集合本身。

在廣義連續統假設成立的情況下，阿列夫n的冪集就是阿列夫n+1。

那麼冪塔就是如同指數塔是連續不斷的次方次方次方……一般，是取冪集之後再取冪集再取冪集？不不不，連續取冪集雖然也可以被叫做冪塔，但不是我說的那種冪塔，連續取冪集這種行為我這裏就姑且稱之為“連續冪塔”，和我這裏說的“冪塔”區分開來。

對於任意集合A，我們稱P（A）是A的冪集。

假設A集合的勢和構造為｛1，2，3，4，5｝，

則P（A）的勢和構造則為｛｛1｝，｛2｝，｛3｝，｛4｝，｛5｝，｛1，2｝，｛1，3｝，｛1，4｝，｛1，5｝，｛2，3｝，｛2，4｝，｛2，5｝，｛3，4｝，｛3，5｝，｛4，5｝，｛1，2，3｝，｛1，2，4｝，｛1，2，5｝，｛1，3，4｝，｛1，3，5｝，｛1，4，5｝，｛2，3，4｝，｛2，4，5｝，｛3，4，5｝，｛1，2，3，4｝，｛1，2，4，5｝，｛1，2，3，5｝，｛1，3，4，5｝，｛2，3，4，5｝，｛1，2，3，4，5｝｝

P（P（A））、P（P（P（A）））、……等等等等“連續冪塔”的構造我就不寫出來了。

在上述集合之中，集合A並沒有冪塔結構，但集合A的冪集、冪集的冪集、……等等等等，皆存在冪塔結構，故冪塔是只有冪集才存在的一類特殊結構。

那麼說了這麼多，那麼到底什麼才是冪塔呢？

冪塔的定義其實很簡單——每一個冪集都存在一個屬於自己的“冪塔”，假設存在一座抽象塔，這座塔一共n層，第n層的組成單元就是該冪集裏全部的“擁有n個元素的集合（由於冪集是集合的所有子集組成的集合，所以冪集的所有元素都是集合）”所組成。

以集合A為例，集合A一共五個元素，所以P（A）的冪塔最高層數是“等勢於集合A”層，也就是五層。

同理類推，P（P（A））的冪塔最高是等勢於P（A）層。

P（P（P（A）））的冪塔最高層是等勢於P（P（A））層。

……如此類推。

那麼集合A的冪集，也就是P（A）的冪塔最高為五層，每一層的構造分別為：

第一層——只有一個元素的集合：｛1｝，｛2｝，｛3｝，｛4｝，｛5｝。

第二層——只有兩個元素的集合：｛1，2｝，｛1，3｝，｛1，4｝，｛1，5｝，｛2，3｝，｛2，4｝，｛2，5｝，｛3，4｝，｛3，5｝，｛4，5｝。

第三層——只有三個元素的集合：｛1，2，3｝，｛1，2，4｝，｛1，2，5｝，｛1，3，4｝，｛1，3，5｝，｛1，4，5｝，｛2，3，4｝，｛2，4，5｝，｛3，4，5｝。

第四層——只有四個元素的集合：｛1，2，3，4｝，｛1，2，4，5｝，｛1，2，3，5｝，｛1，3，4，5｝，｛2，3，4，5｝。

第五層——只有五個元素的集合：｛1，2，3，4，5｝。

這就是P（A）的冪塔，某種程度上來說，P（A）冪塔是對集合A的所有子集，依照勢的大小，也就是元素數量的多少，依次歸類於冪塔的第n層，勢為a則是冪塔第a層。

冪塔分為封閉冪塔和開放冪塔。

一切有限集的冪塔皆為封閉冪塔，一切無限集（各種阿列夫數、貝斯數、大基數、……等等等等）的冪塔皆為開放冪塔。

封閉冪塔和開放冪塔的區別在哪？

繼續以集合A為例，將P（A）的冪塔的每一層都看做一個集合，該集合的元素就是上述的那些。

由此我們可以得到：

冪塔第一層的勢為5。

冪塔第二層的勢為10。

冪塔第三層的勢為9。

冪塔第四層的勢為5。

冪塔第五層的勢為1。

對於每一個有限的冪集來說，其冪塔的最大層數是第二層，越過了第二層后冪塔每一層的大小就依次減小。

而對於一個無限集來說，冪塔的每一層依次變大！

因為如果是封閉冪塔，其集合的元素數量有限，其排列組合方式必然隨着元素的加多而減少，而對於開放冪塔來說這不一樣，集合的元素無限，想怎麼排列組合就怎麼排列組合。

比如說自然冪塔（自然數集的冪集的冪）的第一層所有｛n｝可以和第二層的所有｛1，n｝形式的集合進行一一對應，而後續還有｛2，n｝，｛3，n｝，……等等等等形式的集合，在第一層找不到對應的。

（n為任意自然數）

而對於第三層來說，所有第二層的所有｛a，b｝都可以被｛1，a，b｝形式的集合所對應，而後續的｛2，a，b｝，｛3，a，b｝，……等等等等，則無法對應。

（a，b為任意自然數，a≠b）

……如此類推。

這一點在有限冪集（封閉冪塔）里是做不到的。

從這個角度來看，在廣義連續統假設成立的情況下，可以藉由阿列夫零的冪集來稍微見證阿列夫一的大小，而無需研究各種可數序數。

某種程度上來說，這好像就是可數序數的一種表現形式……算了不管了，既然阿列夫零是所有自然數的集合，那麼恆等價於其冪集的冪塔的第一層，既然第一層都存在“可數序數”這種nb體系，那麼第二層、第三層、……等等等等，也理應存在比可數序數還要nb的體系，就如同一元函數與之多元下標函數一般，嗯，而這一切遠小於阿列夫一，而阿列夫一里也存在“序數體系”，這種序數體系自然要比可數序數、自然冪塔的序數體系、……等等等等，都還要nb，而阿列夫一也存在冪集，也就是說也存在冪塔，自然也可以如此類推，而阿列夫一的冪集也存在冪集，自然也存在冪塔………………如此無止境無休止類推。

任意無限集、阿列夫、貝斯、大基數、數學宇宙、…………、妄想序列、………………、無止境無休止、………………等等等等的冪塔皆是如此，皆是開放冪塔，第n+1層嚴格永遠恆凌駕於第n+1層，而有限集皆為封閉冪塔，封閉冪塔是第二層恆凌駕於其餘層。

定義計算器或計數器：

φ（0）＝無限，φ（1）＝無止境無休止，……

φ（0）＝無窮無盡，φ（1）＝無止境無休止，……