第一百三十八章 蛋糕

這道題目看起來挺新穎的，其實不算難。

伊誠提筆作答：

首先從題目知道：

假設地主為集合C

那麼C的牌數為10，可以寫作集合C{C1、C2……C10}

A的集合為8，同樣A{A1、A2……A8}

……

然後C和A都有一個順子：

可以先設至少有C1+1=C2，C2+1=C3……

同樣A1+1=A2、A2+1=A3……

B說他只有一個對子，並且B沒有順子。

可以設定B1=B2，並且沒有連續5個數之間的差值互相為1.

又幾個集合中的元素分別來自於1-13的兩組數當中，它們之間是互斥的關係。

即黑桃1如果在A中出現，必然不會在B和C中出現。

……

伊誠一路寫下來，發現這題是個體力活。

這道題難的不是前面的部分，而在於後面的博弈。

伊誠把前半部分寫完。

然後再繼續做拆分整理：

A可以拆分成兩個集合：順子集合和非順子集合，

B拆分為對子集合和單牌集合，

C拆分為順子集合和非順集合，

由C先出牌。

那麼就會存在集合C順子比集合A順子大或者小的兩種情況……

然後大致可以得到幾種模型：

……

伊誠一邊做題一邊搖着頭。

可以用昨天狼人殺的納什均衡來做處理，也可以用最笨的窮舉法來做。

也就是說，這題註定拉不開分差了。

數量級並不大，其他人通過窮舉，2個小時之內肯定能搞定。

哎。

難受啊難受。

伊誠在心底里嘆息着。

最後根據不同的牌型，整理出對應的概率模型，並且分別討論一番。

伊誠這題就算結束了。

ok。

21分到手。

但是這題計算量大，浪費了他差不多一個小時的時間。

……

伊誠繼續前進，來到第三題。

【在生日派對上，有一群小夥伴，作為壽星得為他們切蛋糕，蛋糕得保證切得每一塊都是同樣體積同樣奶油，這樣才不會有小朋友不開心。

s是xy平面上的一個凸集。

凸集：實數R（或複數C上）向量空間中，集合S稱為凸集，如果S中任兩點的連線內的點都在集合S內。

對歐氏空間，直觀上，凸集就是凸的。在一維空間中，凸集是單點或一條不間斷的線（包括直線、射線、線段）；二、三維空間中的凸集就是直觀上凸的圖形。】

題目中特地對凸集做了解釋。

蛋糕是明顯的凸集，可以用肉眼就能看出來的。

伊誠對此沒有任何疑問。

他繼續往下審題——

【假設蛋糕的高度為h，hamp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;gt;0，定義在xyz三維空間中一個點集C={（x，y，z）|（x，y，z∈S，且0小於等於z小於等於h）}

那麼C為以S為基準的一個高度為h的蛋糕。

蛋糕的高度是一致的，假定C除了底面之外的其他表面均勻地塗上了奶油。

那麼，講一個平面s劃分成k個集合，如果這k個集合的面積想通，且所佔的原s的周邊長度也相同，則稱其為s的一個k完美劃分。

如果它的所有劃分線都是從一個點出發的線段，則稱該劃分為一個星狀完美劃分。

試證明：

任何一個平面凸集均存在3星狀完美劃分。】

卧槽，一個切蛋糕，你羅里吧嗦說這麼多幹嘛？

伊誠對出題人的語文水平表示懷疑。

他已經是lv2的文學學習水平，加上8期中國詩詞大會擂主，他現在有資格吐槽。

簡單來說，比如一個圓，在其中劃分一個米字，變成6等分，那麼這個米字型劃分就被稱為6星完美劃分。

現在只需要證明的是不管任何形狀，只要是凸集，就能3星完美劃分。

伊誠開始在草稿上進行論證。

但是工作進行了半個小時，他突然發現——

你妹的這題看起來簡單，實際上卻非常難。

為什麼呢？

因為在證明這個題目之前，需要連續證明7個引理。

這比刺殺雅典娜只差了5宮而已。

伊誠心想，你們就算是7個葫蘆娃，老子也要把你們打死。

大娃是：

證明：對於凸集S，存在一個邊的3等長劃分：S1、S2、S3，滿足S1、S2、S3圍成的面積均小於S面積的1/3。

二娃：

證明：對於凸集S，S1、S2、S3是S的邊的一個等長劃分，那麼S1、S2、S3所分別圍成的面積中至多只有一個不小於S面積的1/3

……

七娃：如果將S的邊劃分成連續長度相同的三段，這三段分別包圍的面積若都不超過S面積的1/3，那麼命題得證——任何一個平面凸集均存在3星完美劃分。

伊誠只覺得渾身燥熱，大汗淋漓。

一路祭出各種法寶，終於把7個葫蘆娃一一降服。

最後爺爺就是來送的。

他順利收下了爺爺。

當他抬起頭來的時候，時間已經到了11點半。

沒有想到最後這道題這麼耗時。

不愧是中國奧數競賽的題目。

3道題目，就像是過了大半生一樣。

卷面上，伊誠密密麻麻寫滿了字，包括草稿紙都寫得滿滿當當的。

他做完題目，稍微用手按壓着太陽穴，讓大腦清醒一些。

過了兩分鐘，開始檢查答案。

……

“嚶嚶嚶，孟老師，我對不起您。”

考完試之後，孟老師來接眾人。

還沒回酒店，幾個選手就被考哭了。

武青青一把鼻涕一把淚地說到，“我辜負了您的尊尊教誨，我不配去清北。”

“我也是，我是個垃圾……”江文博哭喪着臉，“我連第一題都沒什麼把握，第二題窮舉到一半時間就沒了……”

“你知道嗎，你最大的問題就在於思想不正，只想着泡妞。”夏文雨用手指戳他的頭。

江文博立刻紅了臉，不敢看李安若。

“都怪李安若，前天帶着我們玩狼人殺，把腦子玩壞了。”

“哎，你這可就怪不得她了。”伊誠站出來回應道，“要知道今天的鬥地主也要運用納什均衡的。”

“納什……那是什麼鬼？”

眾人一臉沮喪。

老孟從眾人的表情和剛才的對話中有了一定的判斷。

伊誠這個小夥子資質很高，這次的題目肯定難不倒他，看他剛才說得頭頭是道，應該都答出來了。

另外顏姿琦剛才一語不發，面色有點凝重，恐怕有點麻煩。

其他的幾個，年紀最小的方銘宇一臉沉默，不知道思考什麼，也許有一定把握。

……

武青青哭天喊地的，跟江文博有得一拼，這兩個人估計只能拿一些過程分，想拿到國一估計無望。

更別說是進國家集訓隊出戰明年的IMO了。

“孟老師，您說得對，我只配上江城大學這種二流。”武青青擦掉臉上的眼淚，目露凶光，“我回去以後就改志願。”

呃……

“不至於不至於。”老孟伸手拍了拍武青青的後腦，“回去再說。”